КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Число состояний частицы в определённом интервале энергий. Распределение по энергиям
Квантовая статистика Ели мы при абсолютном нуле температуры будем кидать бозоны в одну энергетическую яму, а фермионы в другую, то картины будут различными: фермионы будут занимать различные энергетические уровни, а бозоны – первый. 1) Если теперь мы будем бозоны трясти, то они как-то распределятся по энергиям, фермионы тоже. Я приведу только результат. 1. Распределение Ферми (для фермионов) Среднее число частиц при температуре T в определённом состоянии даётся формулой
где – уровень Ферми или химический потенциал. Электроны в металле представляют идеальный фермионный газ. 2. Распределение Бозе (для бозонов)
Итак, среднее число частиц в состоянии при температуре T равно:
,
где соответствует фермионам, – базонам. Число частиц с энергиями в интервале пропорционально : . Наша задача найти функцию распределения по энергиям .
Если мы найдём функцию g (E), тогда автоматически мы найдём и f (E), – число состояний, приходящихся на интервал энергий . Это можно условно так изобразить: на шкале энергий отдельные значения энергии (энергия меняется дискретно), число палочек в интервале энергий это как раз будет число состояний . Проблема теперь упирается в нахождение этой функции g (E).
Мы рассматривали частицу в ящике, и там были найдены возможные состояния, напомню, что любая тройка целых чисел задаёт состояние с волновой функцией . Перебирая все тройки чисел, мы получим все возможные состояния. А теперь у нас задача такая: задать интервал энергии и перебрать все возможные состояния, энергия которых попадёт в этот интервал. Задача на первый взгляд страшно трудная, на самом деле решаемая и довольно элементарно. Можно было бы отталкиваться от решения для ящика, но применяется другой трюк более удобный.
Будем считать, что волновая функция частицы не такая, как там было найдено для частицы в ящике, а волновая функция имеет вид с граничными условиями: 1)
Это означает, что
Ну, и - целые числа
Если б мы рассматривали свободную частицу в пространстве, любой вектор был бы допустим, когда мы рассматриваем частицу в ящике, то не любые векторы задают состояния, а каждая компонента вектора должна быть кратной величине . Векторы могут быть такими, как на рис.3.3, они дискретны, проекции вектора должны быть кратны числу . Мы имеем дискретный набор точек и теперь мы их можем считать. Мы видим, что на одно состояние в этом пространстве волновых чисел или k -пространстве приходится ячейка с объёмом .
А теперь мы можем ответить на вопрос о том, сколько состояний приходится на заданный интервал энергии. Для частицы с массой m . В k -пространстве энергии E отвечает сфера радиуса , и тогда все точки k -пространства, которые находятся внутри этой сферы, отвечают состояниям, энергия которых меньше E. Тогда число состояний с энергией в интервале [0, E ] это будет объём сферы, делённый на объём, приходящийся на одно состояние. Число состояний NE с энергиями в интервале [0, E ], будет равняться
, где V = L 3
А тогда число состояний в интервале мы получим просто дифференцированием:
Тогда число частиц, для которых , равно
Это не то, что нас интересует. Это не распределение по энергиям – это распределение по волновым числам. А теперь мы вернёмся к распределению по энергиям.
Фермионы с массой m. , нам теперь надо просто перейти от k к E. .
На самом деле, мы это учли движение частицы в целом, частица может иметь ещё внутренние состояния, связанные с её спином, тогда эта формула подправится, и мы напишем так:
Этот множитель 2(j +1) – это число проекций спина на выбранную ось. Для электронов и 2 j +1 = 2, то есть число состояний удваивается, тогда для идеального фермионного газа распределение по энергиям выглядит так:
Такой множитель запоминать это безумие, важно, что функция распределения (что вы должны помнить, придя на экзамен)
Интеграл должен равняться полному числу частиц N. Для фермионного газа , если этот интеграл взять, можно определить .
Дата добавления: 2015-06-04; Просмотров: 1295; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |