Комплексные числа

На множестве С вводятся понятия функции, предела таким образом, что соответствующие понятия действительного анализа рассматриваются как част­ный случай. Естественно, при этом сохраняются известные свойства функций действительного переменного: теоремы о пределах, правила дифференцирования, формулы интегрирования и т.д. Однако, благодаря расширению класса функций, частым случаем которых являются функции действительного переменного, по­являются новые свойства. Например, доказывается, что из существования произ­водной функции следует существование ее производных n-го порядка в области. Устанавливается, что все элементарные функции связаны между собой: тригоно­метрические функции выражаются через показательную функцию, а обратные тригонометрические - через логарифмическую. Значительно глубже, чем в анали­зе функций действительного переменного, развита геометрическая теория - кон­формные отображения. Благодаря сочетанию аналитических и геометрических методов теория функций комплексного переменного находит широкое примене­ние в других разделах математики и прикладных задачах.

1. Определить мгновенное значение напряжения на входе электрической цепи, если

U =50e ,B; U =50e ,B

U

2. Записать комплексное сопротивление цепи в алгебраической форме, если ток и напряжение указаны на рис.

3. Изобразить на комплексной плоскости и записать в показательной форме токи и напряжения:

а) U = -40+j40,B; I = 3-j4,A

б) U = 40- j40,B I = -3-j4,A

в) U = - 40- j40,B I = -3+j4,A

4. Определить комплексное сопротивление цепи, если

i(t)=14,1sin(10t + 60), A

u(t)=14,1sin(10t - 30), B

5. Определить комплексные сопротивления

6. Определить коэффициент А четырехполосника по формуле , если известно, что

r = 6+ j8, OM r = 6+ j8, OM

r = 6- j8, 0M

7. Определить волновое сопротивление линии по формуле

если R , = 0,1 , g = Cиm, 10Lo = 0,4 , 10С =2.85
Задача I. В цепи с последовательным соеди­нением элементов г, L, С известно значение полного комплексного сопротивления

Вычислить полное сопротивление цепи и раз­ность фаз между напряжением и током.

Решение задачи демонстрирует курсантам приложение понятий модуля и аргумента комплексного числа, поскольку полное сопро­тивление цепи определяется как модуль ком­плексного числа, а разность фаз — как аргу­мент этого числа.

Задача 3. Комплексная амплитуда тока, протекающего в цепи,

I = 25е .

Записать мгновенное значение этого тока.

Здесь демонстрируется метод перехода от показательной формы комплексного числа к тригонометрической, что является необходи­мым элементом решения задач электротехни­ки. Для перехода от комплексной амплитуды к мгновенному значению надо умножить ее на е и взять коэффициент при мнимой части от полученного произведения:

Задача 4. Колебания тока в электрической цепи, содержащей R, L, С элементы, описыва­ются уравнением

Найти закон протекания тока в цепи, если С=2 мкФ; R=40 Ом; L=4 Гн; u(t)=100 е В.

Эта задача позволяет продемонстрировать приложения темы «Линейные дифференци­альные уравнения второго порядка с постоян­ными коэффициентами». В ходе ее решения внимание курсантов следует обратить на то, что, если напряжение в цепи отсутствует или постоянно, уравнение становится однород­ным, а его общее решение представляет собой закон затухания тока в цепи. Этот ток принято называть переходным. Если же напряжение в цепи изменяется, частное решение получив­шегося неоднородного уравнения описыва

Дата добавления: 2015-06-04