Варіант 28

1. Обчисліть інтеграли:

а) , – границя області ;

б) , – ламана, , , ;

в) ;

г) ;

д) .

2. Розкласти функцію в ряд Тейлора в околі точки .

КОНТРОЛЬНА РОБОТА З ТЕОРІЇ ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ ДЛЯ СТУДЕНТІВ 4 КУРСУ (ЗАОЧНА ФОРМА НАВЧАННЯ)

Варіант 1.

1. Обчислити всі значення та виділити головне значення.

2. Перевірити умови Даламбера—Ейлера для функції і знайти .

3. Виходячи з означення комплексного інтеграла, обчислити , де С — півколо (початок в точці ).

4. Знайти радіус збіжності степеневого ряду

5. Знайти лишки функції відносно всіх її полюсів.

6. На яку область в площині функція відображає круг ? Як відображаються при цьому, зокрема, кола , (0 < < 1) і радіуси ?

Варіант 2.

1. Знайти всі ті значення , при яких є чисто уявним числом.
2. Те ж саме для функції .
3. Те ж саме для , де С — радіус-вектор точки .
4. Знайти радіус збіжності степеневого ряду

1. Знайти лишки функції відносно всіх її полюсів.
2. Для функції , де , знайти образи ліній .

Варіант 3.

1. Знайти модуль і головне значення аргументу числа .
2. Знайти аналітичну функцію аргументу , дійсна частина якої .
3. Користуючись інтегральною формулою Коші, обчислити інтеграл , де С— коло .
4. Знайти область збіжності функціонального ряду

1. Чому рівний інтеграл , взятий по колу ? Порівняти його з інтегралом
2. Знайти лінію в площині , яку описує точка, якщо точка z н z- площині рухається по відрізку прямої .

Варіант 4.

1. Знайти модуль і головне значення аргументу числа .
2. Знайти аналітичну функцію аргументу , уявна частина якої є .
3. Користуючись інтегральною формулою Коші, обчислити інтеграл , де С — коло .
4. Написати перші чотири члени розкладу в ряд Тей­лора в околі нульової точки функції і знайти радіус збіжності цього ряду.
5. Знайти всі особливі точки функції і обчислити лишки відносно всіх її полюсів.
6. На яку область перетворюється півкруг , за допомогою функції ?

Варіант 5.

1. Знайти всі значення числа і виділити головне значения.
2. Чи існує аналітична функція , де , для якої ?
3. Користуючись інтегральною формулою Коші, обчислити інтеграл , де С- еліпс .
4. Написати перші чотири члени розкладу в ряд Тей­лора в околі нульової точки функції і знай­ти радіус збіжності цього ряду.
5. Користуючись основною теоремою про лишки, об­числити інтеграл С — коло .
6. Знайти функцію, яка відображає конформно і вза­ємно однозначно круг на нижню півплощину до так, що точки переходять відповідно в точки: .

Варіант 6.

1. Накреслити графік функції , де х — дійсна змінна.
2. Чи існує аналітична функція , де , для якої ?
3. Користуючись інтегральною формулою Коші, обчислити інтеграл , де С- коло .
4. Розкласти функцію в ряд Тейлора в околі нульової точки і знайти радіус збіжності цього ряду.
5. Користуючись основною теоремою про лишки, обчислити інтеграл , де С — коло .
6. Відобразити круг на півплощину так, щоб виконувались умови .

Варіант 7.

1. Яка лінія задана рівнянням: , де t — дійсний параметр?
2. Довести, що функція до є ана­літична на всій площині .
3. Користуючись інтегральною формулою Коші, обчислити інтеграл — прямокутник з вершинами в точках .
4. Розкласти у ряд Тейлора по степенях z функцію і визначити радіус збіжності цього ряду.
5. Користуючись основною теоремою про лишки, обчислити інтеграл С — коло .
6. З'ясувати, на що перетворюється при відображенні смуга між прямими .

Варіант 8.

1. Яка лінія визначається рівнянням: ?
2. Довести, що функція ( — дійсна частина z) диференційовна лише в точці . Знайти .
3. Виходячи з означення комплексного інтеграла, довести, що , якщо С будь-який простий замкнутий контур, що обмежує область, площа якої дорівнює S.
4. Розкласти у ряд Лорана функцію в околі точки і вказати область, в якій цей розклад має місце.
5. Знайти усі особливі точки функції і визначити їх характер.
6. Знайти функцію, яка перетворює конформно круг в себе так, що точки —1, і, 1 переходять відповідно в точки .

Варіант 9.

1. Розв'язати рівняння: .
2. Довести, що функція не має похідної в жодній точці комплексної площини z.
3. Обчислити , де С є замкнутий контур, який складається з верхнього півкола і відрізка осі від до .
4. Розкласти у ряд Лорана функцію в околі точки
5. Знайти усі особливі точки функції і визначити їх характер.
6. Відобразити круг на круг так, щоб точка відобразилась в точку і щоб мала місце рівність .

Варіант 10.

1. Розв'язати рівняння: .
2. З'ясувати, яка частина площини z стискується і яка розтягається, якщо відображення здійснює функція .
3. Обчислити всі можливі значення при різних положеннях контура С, який не проходить через точки .
4. Розкласти у ряд Лорана функцію в околі точки .
5. Чи існує функція, аналітична в точці , яка набирає в точках відповідно значення: ?
6. З'ясувати, на що перетворюється при відображенні кут .

ЛІТЕРАТУРА

1. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной: Наука, М., 1970, 301 с.

2. Пчёлкин Б.К. Специальные разделы высшей математики. Высшая школа, М., 1973, 460 с.

3. Макушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. Наука, М., 1978, 415 с.

4. Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Арманович И.Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. Наука, М., 1970, 318 с.

Дата добавления: 2015-06-04