Изучение распределения времени пребывания

Особенности структуры потока, свя­занные с продольным перемешиванием, одновременно связаны с неравномер­ностью времени пребывания. Поэтому один из лучших способов определить, какова структура данного потока,— это исследовать в нем распределение вре­мени пребывания.

Задача заключается в следующем. Через аппарат движется поток. В ка­кой-то момент мы отбираем на выходе пробу жидкости. И теперь хотим узнать, какая доля жидкости в этой пробе во­шла в аппарат секунду назад, какая — две, три, четыре и т. д. Но как это сделать? Ведь разные частицы пробы для нас неразличимы. Давайте сделаем их различными. Для этого выделим сре­ди всех частиц потока те, которые во­шли в аппарат в какой-то определен­ный момент. С этой целью мы их по­метим. Обычно это делается так. В опре­деленный момент (в дальнейшем будем принимать его за начало отсчета вре­мени, τ=0) в жидкость на входе ко­ротким импульсом добавляется малое ко­личество добавки-индикатора (ее назы­вают также «трассер»). Теперь, если на выходе появится меченая частица, нам будет точно известно, когда она вошла в аппарат и, следовательно, сколько вре­мени она в нем пробыла. Нам доста­точно получить лишь зависимость кон­центрации индикатора на выходе из ап­парата от времени (с_и от τ), поскольку она в определенном смысле представ­ляет собой портрет распределения време­ни пребывания.

Что можно использовать в качестве индикатора? Эта примесь должна обла­дать следующими свойствами. Во-пер­вых, она не должна влиять на движе­ние потока. Отсюда прежде всего сле­дует, что индикатора нужно добавлять очень мало. Во-вторых, с индикатором внутри аппарата ничего не должно про­исходить: он не должен вступать в реак­цию, оседать на стенках и внутренних деталях аппарата. Единственное его на­значение — двигаться вместе с мече­ными частицами. Наконец, в-третьих, он должен быть легко идентифицирован на выходе.

Если движущаяся в аппарате фаза — вода, то индикатором может быть рас­твор красителя (на выходе мы поста­вим колориметр) или раствор электро­лита (на выходе — измеритель элект­ропроводности, кондуктометр). Если дви­жется воздух, то в качестве примеси ча­ще всего используют газ, сильно отли­чающийся по теплопроводности: гелий (теплопроводность велика) или СО₂ (теплопроводность мала). На выходе — датчик теплопроводности.

Теперь подробнее исследуем зависи­мость С_и от τ. Рассмотрение этого вопроса существенно упрощается, если привести С_и и τ к безразмерному (приведенному) виду. Операция приведения очень широ­ко распространена в физике, и сейчас мы немного отвлечемся, чтобы поговорить об этом.

Что значит измерить какую-то вели­чину? Это — сравнить ее с неким эта­лоном. Измерить длину — сравнить дли­ну данного предмета с длиной платино­вой линейки, хранящейся в Севре (или, более современно, с длиной волны из­лучения, полученного в строго определен­ных условиях). Измерить массу — опять же сопоставить массу предмета с массой эталона килограмма и т. д. Каждый раз эталон — нечто совершенно чуждое данному конкретному измерению и зато об­щее всем измерениям данной величины.

Но можно поступать и иначе. Пред­положим, мы захотим определить размеры конкретной человеческой фигуры. И в качестве единицы (эталона) примем не метр, не сантиметр и даже не фут, а рост этого человека. Тогда, например, получится: ширина плеч — 0,276; окружность гру­ди — 0,596; длина руки — 0,447 и т. д.

Если теперь попытаться по этим дан­ным восстановить фигуру, то ока­жется, что полученный набор чисел оди­наково хорошо подходит и к самому человеку, и к статуэтке высотой 20 см, и к статуе в два человеческих роста. Эти числа определяют не размер пред­мета, а только его пропорции. При таком способе измерения все подобные пред­меты неразличимы.

Хорошо это или плохо? С одной сто­роны, описание внешности оказа­лось явно неполным. Вы так и не поняли, какого он роста (скрывать не станем — 180 см). Лишь после указания роста этот набор чисел оказался связанным с эталоном, а значит, и с остальными предметами окружающего мира. Но зато получена характеристика, обладающая общностью: ею описывается не только конкретный человек, но и ряд возмож­ных его изображений в разных масшта­бах.

Эти соображения оказались особенно важными после того, как понятие подо­бия удалось распространить на все фи­зические величины и явления. Можно говорить о подобии движения в потоках, подобии протекания химических реак­ций и т. д. Около века назад оформи­лась теория подобия, анализирующая яв­ления с позиций их подобия. Одна из важнейших возможностей, даваемых этой теорией, как раз и заключается в обобщенном характере описаний — описав поведение одного объекта, мы получаем характеристику любого объек­та, подобного данному; достаточно толь­ко учесть его размер (масштаб). Если наш первый объект — модель какого-то практически важного оригинала, то тео­рия подобия определяет правило пере­носа полученных зависимостей с моде­ли на оригинал и, таким образом, является одной из основ моделирования.

Одна из особенностей теории подо­бия — использование безразмерных ве­личин, т. е. величин, не связанных с об­щими эталонами, о которых говорилось вначале (размерность, по сути дела,— это и есть соотнесение с эталоном). Про­стейший способ получения безразмерной величины уже рассмотрен нами: сопо­ставление результатов измерения с при­нятым за единицу внутренним эталоном (в рассмотренном примере это был рост), характеризующим данную конкретную задачу. (Есть и более сложные способы: так, использованное нами при описании турбулентного потока число Рейнольдса, по сути, представляет собой безразмер­ную скорость.)

Теперь вернемся к распределению времени пребывания. Чтобы выразить τи С_и в безразмерном виде, выберем внут­ренние эталоны (единицы). В качестве единицы времени естественно принять среднее время пребывания =V_P/V_C Без­размерное время т для любого момен­та / будет равно

τ=τ/ . (22)

Единица концентрации Со определяет­ся следующим образом. Обозначим ко­личество индикатора, введенное на вхо­де, g₀, тогда

(23)

Для безразмерной концентрации С ин­дикатора на выходе имеем C=C_и/С₀

Переход от переменных τ, С_И к безраз­мерным τ и С сразу же позволяет рас­пространять полученные результаты на группу подобных друг другу случаев. Особенно ясно это преимущество в отно­шении величины с„. Ведь с_и пропорцио­нально g_о, т. е. чем больше мы введем индикатора, тем большую концентрацию получим; но g_о — величина, не имеющая отношения к характеру потока, связан­ная со случайными обстоятельствами опыта. В то же время С не зависит от этих обстоятельств. Использование τ так­же удобно: установив условия подобия (в ряде случаев это удается сделать), мы получаем одинаковое описание и не­большой лабораторной модели с малым средним временем пребывания, и боль­шого промышленного аппарата, где вре­мя велико. Есть и другое преимущество безразмерных переменных, но о нем мы поговорим немного позже.

Рис. 10. Зависимость безразмерной концентрации от безразмерного времени

Итак, наш опыт с вводом индикатора дал зависимость С от τ. Типичный (хотя далеко не единственно возможный) гра­фик функции С(τ) показан на рис. 10. Вначале на выходе нет индикатора. За­тем появляются первые его порции — те, которые метят частицы с наимень­шим временем пребывания. Потом С ста­новится больше, проходит через макси­мум и начинает убывать: основная мас­са индикатора прошла, и выходит то, что задержалось в зонах циркуляции и за­стоя. Через достаточно большое время концентрация С практически падает до нуля, хотя теоретически не исключается и асимптотический характер приближения кривой зависимости к нулю.

Дальнейшее выяснение физического смысла функции С(τ) связано с одним из фундаментальных понятий современ­ной математики — случайной величиной, о которой заранее нельзя точно сказать, какое значение примет она при нашем измерении. Мы не знаем, сколько зерны­шек окажется в арбузе, который соби­раемся разрезать; не знаем, каким будет время пребывания какой-то одной части­цы из числа тех, которые в данный момент входят в аппарат. И число зерны­шек, и время — случайные величины.

Но чтобы наша величина в качестве случайной стала предметом научного рассмотрения, необходимо, чтобы экспе­римент по ее измерению можно было проводить многократно, и каждый раз эта величина должна оставаться случай­ной. Например, мы заранее не знаем, сколько гор окажется на Титане — спут­нике Сатурна. Но это не случайная вели­чина: один раз сосчитаем и будем знать навсегда.

Важнейшая характеристика случай­ной величины — вероятность. Строго определить, что это такое, очень сложно. Нас удов­летворит приблизительное описание, не претендующее на строгость. Вероят­ность показывает, как часто в изме­рениях будет получаться данное значе­ние величины. Но ведь величина — слу­чайная, и в разных сериях измерений частота ее появления окажется различ­ной (иначе мы заранее бы знали, когда что получится). Это верно; но если числе измерений будет становиться все больше и больше, то эта частота окажется во ближе и ближе к вероятности. Вероятность и есть в некотором (не вполне строгом) смысле тот предел, к которому стремится частота при увеличении числа измерений и вокруг которого она колеблется в различных сериях.

Вероятность Р любого значения случайной величины заключена в предела от 0 до 1. Если Р=0, то данное значение практически никогда не появится в измерениях. Если Р=1, то во всех измерениях наверняка будет получаться именно данное значение. Например, если мы станем подсчитывать количество певчих птиц в ближайшей роще, вероятность того, что их число составит 10⁹ равна 0 (наверняка в роще не поместится миллиард птиц). Вероятность, равна 1, характеризует величины неслучайные. Так, сейчас у Земли с вероятностью имеется один крупный естественный спутник. В некоторых простых ситуациях определить вероятность можно исходя и числа возможных равновероятных результатов измерений. Скажем, при бросании игральной кости (кубика) вероятность того, что выпадет 5, равна 1/6. Для шести возможных вариантов вероятность того, что выпадет хотя бы один из них, равна 1, а вероятность любого конкретного варианта в 6 раз меньше. Все примеры, рассмотренные в преды­дущем абзаце, относятся к одному клас­су случайных величин, так называемым дискретным. У этих величин их возмож­ные значения — не любые, а отделены друг от друга каким-то интервалом. Число птиц, спутников, число очков при бросании кости — обязательно целые числа. Не может быть у планеты, скажем, 2,3 спутника. Есть дискретные величины, где интервал и не целый. Например, суммарный спин систем электронов мо­жет принимать значения, отделенные друг от друга интервалами, кратными ½. Но в любом случае у дискретных величин эти интервалы есть.

Другой случай — непрерывные слу­чайные величины, к ним относятся мас­са, время, скорость и т. п. Здесь в неко­торой области может получиться любое значение. Время может составить 1 с, 2 с, но может и 1,08356 с, и какое угодно другое значение.

Для непрерывных случайных величин вероятности приходится задавать по-осо­бому. Дело вот в чем. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-то точно заданное значе­ние, всегда равна 0. Как же так? Ведь какое-то значение обязательно получит­ся. Да, но это будет не то значение, которое мы заранее задали. Мы задали 1,5, а получилось 1,5000001. И даже если получили 1,5000000, никогда нельзя ру­чаться, что еще через 200 знаков не поя­вится какой-то, отличный от нуля. Беско­нечный диапазон возможных значений, как угодно близких к заданному, и при­водит к тому, что для заданного значе­ния получаем Р=0.

Но нельзя же сказать, что все значе­ния непрерывной случайной величины равновероятны. Вероятность того, что масса яблока, сорванного с дерева, ока­жется равной точно 200 г, равна 0. Веро­ятность того, что эта масса окажется рав­ной точно 200 кг, тоже равна 0. Но ясно, что это в каком-то смысле разные нули: яблоко в 200 г нас не удивит, яблоко в 200 кг совершенно невероятно.

Для того чтобы определить вероят­ность значения непрерывной случайной величины, это значение надо задать не точно, а с каким-то интервалом. Вероятность того, что масса яблока окажется в пределах от 200 до 200,1 г уже не равна нулю, хотя и мала (потому что мал интер­вал в 0,1 г).

Записывается этот способ определе­ния вероятности так:

P(x≤ X ≤x+dx)=f(x)dx 25

Смысл формулы (25) таков. Здесь X —. случайная величина; х — какое-то ее зна­чение; dx— бесконечно малое прираще­ние (дифференциал) значения х. Левая часть обозначает вероятность того, что величина х окажется в интервале от х до х+ dx. Теперь обратимся к правой части. Множитель их введен сюда пото­му, что чем больше интервал, тем ско­рее «попадет» в него величина. Функция f(x)отражает то обстоятельство, что раз­ные значения х не равновероятны (точ­нее, что вероятность попасть в интервал шириной dx зависит от того, где на оси х расположен этот интервал). Эта функ­ция называется плотностью вероятности случайной величины.

Так вот, функция С(τ), оказывается, представляет собой плотность вероят­ности времени пребывания. Если выра­зить время не в приведенных, а в раз­мерных единицах, то

(26)

где С(τ) — та же самая безразмерная концентрация индикатора (делать ее раз­мерной нет смысла).

Как же можно использовать получен­ную плотность вероятности, т. е. функцию С(τ) или f(τ)? Прежде всего для ряда случаев знание этой функции позволяет непосредственно рассчитать ход химиче­ской реакции. Так, протекание реакции первого порядка (см. формулы 13, 16, 18) в потоке, где распределение времени пре­бывания характеризуется плотностью ве­роятности f(τ), дает на выходе такое значение концентрации реагента:

(27)

Рассчитать этот интеграл не так уж сложно, для чего, например, можно по­строить график функции от τ=0 до того значения τ, при котором эта функция для нас неотличима от нуля. Площадь под графиком приближенно равна искомому интегралу. В практиче­ских целях обычно пользуются более быстрыми и точными методами числен­ного интегрирования. Формула (27) по­казывает, что в этом простом случае для расчета процесса достаточно знать урав­нение скорости реакции (13) и функцию f(τ), которую можно получить из опыта с пропусканием индикатора.

В более сложных случаях не всегда можно получить аналогичную формулу. Тогда использование непосредственно функции C(τ)или f(τ)может быть затруднительно. Проще поступать по-другому: рассчитать на основе этой функ­ции некоторые характеристики времени пребывания как случайной величины и дальше пользоваться для анализа этими характеристиками.

Чаще всего рассчитывают две основ­ные характеристики. Первая характери­зует среднее значение случайной вели­чины. Раз величина случайная, то и получаемые для нее значения оказыва­ются разными. Но какова она в сред­нем? Около какого среднего колеблются отдельные ее значения? Оказывается, в теории вероятностей можно определить несколько разных средних. Но чаще все­го пользуются характеристикой, которая еще с XVII в. носит название мате­матическое ожидание. Название сегодня мало о чем говорит. Когда-то оно означа­ло ожидаемый средний выигрыш в азарт­ной игре. Азартные игры, особенно кос­ти, оказались прекрасной моделью, на которой изучали свойства вероятностей первые исследователи в этой области. Сейчас интересы математиков перемести­лись на совсем иные вопросы, а термин остался. По существу, математическое ожидание — то же самое, что среднее арифметическое, только записанное так, чтобы можно было рассчитать его через вероятности. Поэтому в дальнейшем бу­дущем будем называть его просто сред­ним и обозначать чертой над усредняе­мой величиной.

Среднее значение безразмерного вре­мени пребывания определяется формулой

(28)

Но эта формула практического интереса не представляет. Дело в том, что, приво­дя время к безразмерному виду, мы при­няли среднее время за единицу. И если дальше все правильно, то формула (28.) должна тождественно приводить к ре­зультату =1. Гораздо интереснее фор­мула, которую можно вывести из (28), позволяющая рассчитать Г из результа­тов опыта с вводом индикатора

(29)

Можно возразить — величину гораздо быстрее и про­ще рассчитать по формуле (11). Зачем такие сложности?»

Формула (29) сложна, это верно. Но зато ее можно использовать тогда, когда неизвестен объем, занимаемый потоком. А затем при помощи формулы (11) опре­делить этот самый неизвестный объем.

Работать таким методом первыми на­чали, по-видимому, спелеологи. Во мно­гих местах (например, на Южном берегу Крыма) важную роль играют речки, вы­текающие из подземных озер, спрятан­ных в пещерах. Такое озеро служит при­родным водохранилищем, и его объем важно знать для прогноза поведения реки. Но далеко не всегда удается об­мерить озеро непосредственно. Тогда к пещере отправляется экспедиция. Экспе­диция делится на два отряда. Один оста­навливается наверху, в том месте, где река выбивается из-под земли. Замерив расход воды в реке, он ждет. Другой от­ряд спускается в пещеру. И в заранее обусловленное время (например, ровно в полночь) спелеологи выливают в устье той подземной речки, которая впадает в озеро, бутылку индикатора. Чаще всего используют флюоресцеин. Даже очень разбавленные его растворы ярко флюо­ресцируют — светятся красивым зеле­ным светом. Начиная с момента ввода индикатора, наземный отряд каждые полчаса (или час, или 10 минут в за­висимости от ожидаемых размеров озера и от расхода воды) отбирает пробы воды для анализа на индикатор. Нужно сказать, зрелище это очень красивое и немного жуткое:

вся вода в реке све­тится изумрудным сиянием. Говорят, жители глухих уголков Пиренеев, где та­кие опыты проводил знаменитый фран­цузский спелеолог Н. Кастере, никак не могли решить, кто же эти странные люди, заставляющие светиться реки: посланцы сил добрых или дьявольских.

В химической технологии и, близких к ней отраслях объем аппарата всегда известен. Поэтому здесь такая задача встает лишь тогда, когда поток зани­мает не весь объем. Так, часто через аппарат движутся два потока: сверху — жидкость, а снизу — газ или пар. При этом скорость газа велика, и его вре­мя пребывания мало. А вот жидкость находится в аппарате значительно доль­ше, и если обрабатываемые вещества способны разлагаться, то желательно сделать время пребывания минималь­ным. Поэтому стоит подобрать такой режим работы, когда объем, занимаемый стекающей жидкостью, невелик и в со­ответствии с уравнением (11) мало вре­мя пребывания. При отладке такого ре­жима эксперимент с вводом индикатора может сослужить неоценимую службу.

Другой пример, когда, наоборот, ма­лое значение I является грозным призна­ком — это случай образования козла в шахтных печах.. Название звучит не­сколько комично, но в самом явлении ве­селого мало. Козел в печи — это при­липший к стенке или к деталям конст­рукции материал, на который налипают еще и еще порции; постепенно образует­ся большой ком, давящий на стенку, перегораживающий путь материалу. Ес­ли вовремя не принять меры, козел может стать таким большим, что при­ведет, к аварии с весьма тяжелыми по­следствиями. В домне, например, козел может весить много тонн. Такая махина способна обрушить футеровку печи, что потребует остановки на капитальный ре­монт и причинит громадные убытки.

Самый простой способ обнаружить зарождающийся козел, основан на том, что он, перегораживая путь части дви­жущейся в печи шихты, образует застой­ную зону, а это ведет к уменьшению ра­бочего объема и соответственно .

Теперь еще об одной характеристике случайной величины, очень важной для анализа структуры потока. Это характе­ристика разброса относительно среднего. Если трехкилограммовый пакет с кар­тофелем содержит 30 клубней, то средняя масса клубня составит 100 г. Но для нас не все равно, будут ли все 30 клубней при­близительно по 100 г (скажем, колебать­ся от 80 до 120 г) или в пакете будут лежать два гигантских клубня по 1,2 кг, а остальные 28 клубней — мелочь примерно по 20 г. В первом случае все зна­чения массы близки к среднему, во вто­ром наблюдается сильный разброс во­круг него. Наиболее принятая в теории веро­ятностей мера разброса — дисперсия, представляющая собой среднее значение квадрата отклонения случайной величи­ны от ее математического ожидания (оказалось удобнее изучать квадраты от­клонений, чем сами отклонения). Если нам нужно оценить не квадрат, а само отклонение, то достаточно извлечь из дисперсии корень квадратный и получим среднее квадратичное отклонение.

Рис. 9. Плотность вероятности времени пребывания для идеальных потоков: 1 - вытеснение; 2 - смешение

Формула для расчета дисперсии без­размерного времени пребывания имеет вид

(30)

В подавляющем большинстве случа­ев, чем больше дисперсия, тем дальше поток от идеального вытеснения. Для того чтобы яснее представить себе это, рассмотрим плотности вероятности для тех типов потока, которые были рассмот­рены раньше.

Для идеальных потоков графики С(т) показаны на рис. 9. Для идеаль­ного вытеснения, строго говоря, график построить нельзя. Действительно, опи­шем поведение индикатора, движущегося с потоком в аппарате идеального вытес­нения. При этом нам придется учесть од­но свойство плотности вероятности (фи­зически достаточно очевидное), согласно которому всегда

(31)

Левая часть выражения (31) задает вероятность того, что время пребывания частицы в интервале от 0 до ∞ примет какое-то значение, что будет в любом слу­чае, поэтому соответствующая вероят­ность и равна единице.

Теперь рассмотрим движение индика­тора. Для любого τ <1 на выходе нет ин­дикатора: с_и=0, С=0. Все частицы, по­меченные индикатором, движутся вместе, и ни одна из них еще не появилась на выходе. То же верно и для любого т>1; все меченые частицы уже вышли. При τ= 1 все частицы выходят одно­временно. На графике должен быть скачок вверх-вниз (пик), причем ширина этого пика равна нулю. Но мы уже гово­рили, что интеграл равен площади под кривой. Уравнение (31) требует, чтобы эта площадь была равна 1; тогда высоту пика придется считать бесконечной. Очень странная получается функция: всюду, кроме одной точки, она равна нулю; а в этой точке — бесконечный пик с площадью, равной 1. До начала нашего века такое, пожалуй, и функцией бы не назвали. Потом эта функция остро понадобилась физикам, и один из вели­чайших физиков XX в. П. Дирак ее ввел и назвал дельта-функцией. То, что по­казано на рис. 11, лишь весьма отдален­ное подобие дельта-функции, которую точно изоб­разить невозможно.

Для идеального смешения функции С(т) совсем другая. Она описывается формулой

С=ехр[-τ] (32)

Тоже довольно необычная зависимость. В этом потоке наиболее вероятно, что время пребывания частицы окажется очень близким к нулю: не успеет она войти в аппарат, как идеальная мешалка перекинет ее к выходу, и частица покидает аппарат, не успев принять учас­тие в реакции (об этом мы уже гово­рили). Наряду с такими частицами есть и другие, хотя и в гораздо мень­шем количестве. Они долго странствуют по аппарату, перемешиваемые по всему объему, и теоретически на выходе могут найтись частицы, вошедшие в аппарат как угодно давно.

Дисперсия времени пребывания для потока идеального вытеснения равна нулю, здесь никакого разброса вокруг среднего нет. Для потока идеального смешения а²(т) = 1. Расчет легко провес­ти по формулам (30) и (32).

Для очень многих реальных потоков величина σ²(τ) лежит между 0 и 1. Их в первом приближении можно рассматри­вать как промежуточные случаи между обоими идеальными потоками. Но воз­можны иные случаи, и об этом мы уже говорили. Разумеется, исключен вариант, когда σ²(τ) <0, но больше единицы дис­персия может быть, и теоретически мо­жет встретиться сколь угодно большое значение σ²(τ). Правда, если σ²(τ) >1, то это означает, как правило, чрезвы­чайно плохую организацию потока; обыч­но так получается, когда в аппарате имеется очень большая застойная зона, а движущийся поток проходит малой частью объема и поэтому весьма быстро. Другой вариант, приводящий к большим значениям σ²(τ), напоминает предыду­щий: это случай резкой неравномерности потока по поперечному сечению, когда нет настоящей застойной зоны, но в од­них частях сечения скорость в несколько раз больше, чем в других. К сожалению, этот вариант довольно часто встречается в аппаратах большого поперечного сече­ния, и создание агрегатов большой единичной мощности ставит перед иссле­дователями непростую задачу: добивать­ся равномерности потока в крупномер­ных аппаратах. Наконец, проследим поведение функ­ции С(τ) для каскада аппаратов смеше­ния

Рис. 10. Плотность вероятности времени пребывания для каскада аппаратов смешения

. Графики на рис. 10 построены с учетом того, что — среднее время пребывания во всем каскаде, рассмат­риваемом как один аппарат. Уже при п=2 график непохож на идеальное сме­шение (п=1):С= 0 при τ=0, а затем кривая проходит через максимум. Чем больше п, тем круче и выше пик; как мы уже отмечали, предел n → ∞­ coответствует переходу к дельта-функции.
Интересно выражение для дисперсии:

(33)

Довольно часто понятие каскада ис­пользуют в качестве схемы, с той или иной степенью приближения описываю­щей реальный поток, отличающийся от обоих идеальных типов. Тогда один аппарат каскада рассматривают как участок аппарата (ячейку). Такую схему называют ячеечной моделью потока. Экс­перимент с вводом индикатора позво­ляет по формуле (33) легко определить параметр модели — число ячеек, при ко­тором схема лучше всего соответствует нашему потоку.

Дата добавления: 2015-06-04