Сепаратриса

СЕПАРАТРИСА

- термин качественной теории дифференциальных уравнений. 1) С. в первоначальном смысле слова - траектория { S_tp } потока { S_t }на плоскости, стремящаяся (при или при ) к нек-рому равновесия положению р ₀, причем сколь угодно близко к ней имеются траектории, к-рые вначале приближаются к р ₀, как бы "идя вдоль траектории { S_tp }", а затем отходят от него на нек-рое конечное расстояние. Формально последнее означает существование таких окрестности Uточки р ₀, последовательности точек и последовательностей чисел s_n, t_n, что (соответственно ),

Основной пример - С. невырожденного (или простого) седла. Для последнего под С. может пониматься также его устойчивое (соответственно неустойчивое)многообразие, т. е. (в данном случае) линия, включающая седло и обе траектории, стремящиеся к нему при (соответственно при ).

Название "С." связано с наблюдением, что С. наряду с замкнутыми траекториями делят фазовую плоскость на области с одинаковым поведением траекторий. Это наблюдение может быть строго формализовано (см. [1], [3]). С. могут входить в состав предельных множеств траекторий. Так, траектория может навиваться на "петлю С." - замкнутую кривую, образованную траекторией, стремящейся к одному и тому же седлу как при , так и при , или на "сепаратрисный контур (цикл)" - замкнутую кривую, состоящую из нескольких С., соединяющих седла. При малом возмущении из петли С. может возникнуть предельный цикл (это один из основных типов бифуркаций для потоков на плоскости; см. [2], [3]).

2) В многомерном случае под С. (или сепаратрисными многообразиями) чаще всего понимают устойчивое и неустойчивое многообразия гиперболич. положения равновесия или периодич. траектории.

Имеются попытки выделить под названием "С." класс траекторий, входящих в множества, которые в некотором смысле "разделяют" траектории с различным поведением. Непосредственное обобщение случая плоскости имело бы ограниченную применимость, поскольку в многомерном случае фазовое пространство, вообще говоря, не разбивается на области, заполненные траекториями с одинаковыми предельными множествами (тогда как на плоскости такая ситуация "типична"). Предложенные формулировки являются довольно сложными (см. [4]), и не приходится ожидать полного описания различных типов С. и составленных из них множеств.

Лит.:[1] А н д р о н о в А. А., Л е о н т о в и ч Е. А., Г о р д о н И. И., М а й е р А. Г., Качественная теория динамических систем второго порядка, М., 1966; [2] и х ж е, Теория бифуркаций динамических систем на плоскости, М., 1967; [3] Б а у т и н Н. Н., Л е о н т о в и ч Е. А., Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости, М. 1976; [4] Н а r t z m a n С. S., "Aequationes math.", 1980, v. 20, № 1, p. 59 -72. Д. В. Аносов.

Дата добавления: 2015-06-04