Позиционные задачи на пересечение поверхности с прямой линией и плоскостью

Задание поверхности вращения на чертеже. Точки и линии на поверхности

Основные понятия

Кривые поверхности

В начертательной геометрии кривая поверхность определяются, как непрерывное множество положений перемещающейся в пространстве линии, называемой образующей. Образующая может быть прямой линией (линейчатая поверхность) или кривой (нелинейчатая). Движение образующей в пространстве может осуществляться по некоторому закону. Такая поверхность называется закономерной, в отличии от незакономерной (случайной) поверхности. К числу условий перемещения в пространстве образующей линии относятся: перемещение по неподвижным линиям - направляющим, вращательное движение вокруг неподвижной оси, винтовое перемещение и др.

Одна и та же поверхность может быть образована перемещением различных линий и согласно различных условиям. Например, боковая поверхность прямого кругового цилиндра может быть рассмотрена как результат:

- перемещение окружности вдоль некоторой оси;

- вращение некоторой образующей прямой линии вокруг оси вращения;

- вращение некоторой кривой линии, все точки которой равноудалены от оси вращения.

Рассматривая совокупность прямолинейных образующих с совокупностью образующих окружностей получим каркас данной поверхности цилиндра.

Множество неподвижных линий, инцидентных данной поверхности и объединенных каким либо общим признаком, называется её каркасом.

На чертеже поверхность изображают очерком проекций поверхности или её отдельных частей.

Задать поверхность на чертеже – значит указать условия, позволяющие построить каждую точку этой поверхности.

Точка принадлежит поверхности, если она находится на линии, принадлежащей данной поверхности. Рассмотрим чертёж конуса и точки, принадлежащие его поверхности (рис. 6.6). Фронтальная проекция конуса задана очерковыми образующими, определяющими границы поверхности, а горизонтальная – проекцией основания конуса. Каркас конуса – это совокупность образующих прямых линий, соединяющих их вершину S и основание конуса и совокупность параллелей – окружностей различного радиуса, плоскость которых перпендикулярна оси конуса.

Рис. 6.6.

Рассмотрим ряд точек на боковой поверхности конуса. Точка А расположена на очерковой образующей конуса, её горизонтальная проекция находится на линии связи, на оси конуса. Обратим внимание, что очерковая образующая является фронталью, т.е. её фронтальная проекция натуральная величина образующей конуса.

Принадлежность точек В и С поверхности конуса определяется соответственно с помощью параллели радиуса R или образующей конуса (S ₁).

В общем случае пересечения поверхности с плоскостью является кривая линия.

Рассмотрим конические сечения фронтально проецирующимися плоскостями и горизонтальной плоскостью уровня (рис. 6.7) Обозначим угол наклона образующей к оси конуса a - а угол наклона следа плоскости - j. В зависимости от угла наклона плоскости линией сечения может быть окружность, эллипс, парабола, гипербола. Если:

j = 90°, линия сечения - окружность,

j > a - эллипс,

j = a - парабола,

j < a - гипербола.

Если секущая плоскость проходит через вершину конуса, то сечением является треугольник.

Задача: Построить линию сечения конуса фронтально проецирующей плоскостью S (рис. 6.8).

Решение: Линией сечения в данном случае будет неполны эллипс т.к. угол наклона плоскости S к оси конуса больше угла наклона образующей. Фронтальная проекция линии сечения совпадает со следом плоскости, т.к. секущая плоскость является фронтально проецирующей. Определим горизонтальную проекцию сечения. Первоначально отметим опорные точки – точка 1 на очерковой образующей является высшей точкой сечения, точки 2 и 3 на основании конуса – низшие точки. Ряд промежуточных точек 4, 5, 6, 7 определяем с помощью параллелей конуса, проведённых через эти точки. Точки 8, 9 определены через образующую конуса. Полученные точки плавно соединяем с учётом видимости.

Рис. 6.7. Сечение конуса.

Рис. 6.8.

Задача: Определить точки пересечения прямой а с конусом (рис. 6.9).

Решение: Для решения задачи выгоднее всего использовать вспомогательную плоскость, проходящую через вершину конуса. Для этого дополним прямую а до плоскости прямой b,

Рис. 6.9. Пересечение прямой с конусом.

пересекающейся с ней в точке 1 (рис. 6.9). Определим горизонтальный след вспомогательной плоскости S(а Ç b). Для этого найдём следы прямых а и b – М и М ¹. Отметим точки пересечения основания конуса с горизонтальным следом S₁ – точки А и В. Определилась линия сечения конуса со вспомогательной плоскостью – это треугольник АВS.

На пересечении линии сечения A₁B₁S₁ и проекции прямой а₁ находим искомые точки K₁ и L₁, по линиям связи - K₂ и L₂. Затем определяем видимость прямой относительно точек пересечения.

Дата добавления: 2015-06-29