Скрещивающиеся прямые. Общие точки прямой и плоскости

Общие точки прямой и плоскости

Пусть даны прямая и плоскость

, .

1). Если , а , то прямая и плоскость параллельны, значит, общих точек они не имеют.

2). Если , то прямая лежит в плоскости, значит, все точки прямой лежат в плоскости.

3). Если , прямая и плоскость пересекаются, чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости, надо перейти к параметрическим уравнениям прямой и, подставив эти соотношения в уравнение плоскости, получить значение параметра , соответствующего точке пересечения прямой и плоскости.

Пример. Найти точку пересечения прямой и плоскости .

Решение. Перейдем к параметрическим уравнениям прямой

подставляем эти соотношения в уравнение плоскости, получим

,

отсюда находим , тогда координаты точки пересечения .

Пусть заданы две прямые

, .

Прямые могут лежать в одной плоскости (при этом они могут пересекаться или быть параллельными), а могут лежать в разных плоскостях.

Определение. Если прямые не пересекаются и лежат в разных плоскостях, они называются скрещивающимися.

Если прямые лежат в одной плоскости, то векторы лежат в одной плоскости, то есть компланарны, следовательно, их смешанное произведение равно нулю

Это есть необходимое и достаточное условие принадлежности прямых одной плоскости. При этом, если

,

то прямые параллельны; если координаты направляющих векторов не пропорциональны, то прямые пересекаются.

Необходимым и достаточным условием скрещивающихся прямых является равенство:

.

Дата добавления: 2015-06-30