Вероятности некоторых нардовых событий

Перейти к таблицам Вернуться в начало.

1. ВСТУПЛЕНИЕ

На нардовых сайтах часто спорят о вероятностях различных событий на нардовой доске. И самый первый тезис, с которым сталкиваешься и часто слышишь, звучит примерно так:

Последовательности 1234215 и 55554666 равновероятны и между ними нет никакой разницы. Все последовательности уникальны и у всех одинаковая вероятность выпадения.

Это утверждение верно.

Но неправильное его (утверждения) понимание ведет к большой путанице и многочисленным заблуждениям.

Приведу один ПРИМЕР.

Рассматривается вопрос: если 5 бросков подряд не выпадала четверка ни на одном заре, какова вероятность увидеть, хоть одну четверку в шестом броске?

Первый вариант ответа дают сторонники «уникальности всех последовательностей»:

Зары не имеют памяти, и не имеет значение, что выпадало до того. Вероятность увидеть четверку на одном из зар равна 11 из 36, 11/36 = 30,56%. Такая же вероятность будет, если до этого четверка не выпадала хоть 15 раз подряд!

Отметим, что на вопрос: какова вероятность увидеть хоть одну четверку в одном броске, ответ 11/36 совершенно верен. Но вопрос был про 6 бросков подряд, из которых в первых пяти четверки не было. А потому на заданный вопрос ответ 30,56% - неверен.

Второй вариант ответа звучит иначе:

Вероятность бросить одну четверку в одном броске зар действительно равна 11/36. Вероятность НЕ бросить ее равна 36/36 - 11/36 = 25/36. В последовательности из 6 бросков вероятность НЕ выбросить ни одной четверки, равна: (25/36)⁶ = 11,22%

Как видите, разница в 3 раза. А причина такого расхождения в том, что расчет вероятностей – очень деликатный и непростой вопрос. Он требует хорошего знания математики и очень корректной постановки вопроса.

«Нардовых» событий в длинных нардах может быть много, но мы рассмотрим только два случая:

- вероятность броска (бросков) зар;

- вероятность какого-то условия на броске (бросках) зар.

Короткие нарды мы не рассматриваем. Там есть еще дополнительная специфика вероятностей разных событий, связанная с боем шашек, выходом с бара и прочее.

Итак. В чем же специфика «нардовых» событий и почему позиция «уникальных последовательностей» приводит применительно к нардам к множеству ошибок?

1. СПЕЦИФИКА СОБЫТИЙ В ДЛИННЫХ НАРДАХ.

Никаких тайн, ни каких сложностей. На самом деле специфика «нардовых» событий, это всего лишь 2 пункта.

А) Бросок зар – это всегда две цифры от 1 до 6. Т.е. нардовые события это вероятности только парных сочетаний цифр от 1 до 6. Все остальное разнообразие многомерной комбинаторики нас не интересует, и мы будем рассматривать только парные броски зар.

Б) Для игры в длинные нарды, бросок 1:2 и 2:1 – это одно и то же. В отличие от нард, в комбинаторике 12 и 21 - две разные комбинации! Вот это и есть главное и критически важное отличие.

Весь дальнейший материал базируется на этой специфике.

1. ВЕРОЯТНОСТЬ БРОСКА ЗАР.

Вспомним классическую формулу вероятности события:

_{Количество благоприятных событий}

Вероятность какого-либо условия = ---------------------------------------------------------

^{Общее число всех возможных событий}

Начнем с одного броска зар. Это базовое, фундаментальное событие и знание вероятностей, связанных с одним броском необходимо для правильного восприятия игры длинные нарды.

Всего бросков зар может быть 6*6=36 вариантов, по 6 вариантов второго зара на каждую цифру первого зара (1-*, 2-*, 3-*, 4-*, 5-*, 6-*).

Разделим броски на два типа:

ОБЫЧНЫЙ бросок – цифры на зарах не равны, вероятность каждого конкретного такого броска равна 2 из 36, т.е. 2/36 или примерно 5,55%

Примеры:

- вероятность броска 4:5 равна 2 из 36, т.к. благоприятных событий два: бросок 4:5 и бросок 5:4, а всего возможных событий 36.

- вероятность броска 2:1 равна 2 из 36, т.к. благоприятных событий два: бросок 2:1 и бросок 1:2, а всего возможных событий 36.

- вероятность броска 4:6 равна 2 из 36, т.к. благоприятных событий два: бросок 4:6 и бросок 6:4, а всего возможных событий 36.

И т.д.

ПАРНЫЙ бросок или КУШ – цифры на зарах равны, вероятность каждого конкретного такого броска равна 1 из 36, т.е. 1/36 или примерно 2,78%

Примеры:

- вероятность броска 5:5 равна 1 из 36, т.к. благоприятное событие всего одно: бросок 5:5, а всего возможных событий 36.

- вероятность броска 4:4 равна 1 из 36, т.к. благоприятное событие всего одно: бросок 4:4, а всего возможных событий 36.

- вероятность броска 1:1 равна 1 из 36, т.к. благоприятное событие всего одно: бросок 1:1, а всего возможных событий 36.

Ну и т.д.

ИТОГО. Вероятности:

Какого-либо конкретного обычного броска	2/36= 5,55%.
Какого-либо конкретного куша	1/36= 2,78%

1. ВЕРОЯТНОСТЬ КАКОГО-ТО УСЛОВИЯ НА БРОСКЕ (БРОСКАХ) ЗАР.

Здесь может быть много разных и в большинстве своем важных с точки зрения практической игры вероятностей.

Начнем по порядку.

А) Вероятность какого-нибудь (любого) куша, независимо какого именно:

Кушей всего 6 (1:1,2:2,3:3,4:4,5:5,6:6). Значит, вероятность равна 6/36=16,67%

Б) Вероятность обычного броска (НЕ КУШ), не зависимо от того, что именно выпадет на зарах. Вероятность, что бросок будет куш, как мы выяснили выше – 6 из 36, значит вероятность обычного броска равна 36/36-6/36= 30/36=83,33% (100%-16,67%).

В) Вероятность, что в броске будет какая-то конкретная (как правило, очень нужная или наоборот очень не нужная) цифра, независимо от того, какая цифра вторая. Рассмотрим на примере вероятности выпадения хотя бы одной Четверки.

Всего бросков 36: 1-*, 2-*, 3-*, 4-*, 5-*, 6-*. В бросках 4-* - 6 благоприятных вариантов (4-1,4-2, 4-3, 4-4, 4-5, 4-6), каждом из остальных пяти бросков по одному (1-4,2-4, 3-4, 5-4, 6-4). Итого 11 вариантов из 36. Вероятность того, что в броске будет хотя бы одна Четверка = 11/36=30,56%. С остальными цифрами все точно так же.

Итак: вероятность броска какой-то конкретной цифры хотя бы на одном из зар равна 11/36 или 30,56%

Г) Вероятность, что в броске НЕ будет какой-то конкретной (одной) цифры.

Как мы выяснили выше, вероятность, что хоть одна цифра выпадет, равна 11 из 36. Значит вероятность, что она НЕ выпадет, равна (36-11=25) из 36.

Итак: вероятность броска, в котором не будет какой-то конкретной цифры равна 25/36 или 69,44%

Это наиболее важные и постоянно применяемые в практике для расчетов в игре случаи.

Рассмотрим из остального многообразия еще несколько отдельных случаев.

ПРИМЕЧАНИЕ. Во избежание путаницы. В дальнейшем мы рассматриваем вероятности событий с шестеркой, но вероятности таких же событий с другими КОНКРЕТНЫМИ цифрами ровно такие же. Шестерка рассмотрена для примера.

a) Какова вероятность того, что ДВА броска подряд ни разу НЕ выпадет шестерка?

Вероятность НЕ выпадения шестерки в каждом броске равна 25/36. Значит, в двух бросках НЕ выпадение будет равно 25/36*25/36=625/1296= 48,23%

b) Какова вероятность того, что в двух бросках подряд выпадет хотя бы одна шестерка?

Вероятность НЕ выпадения шестерки в 2 бросках подряд 48,23% (см. выше). Отсюда получаем, что вероятность выпадения хотя бы одной шестерки в хотя бы одном из двух подряд бросков равна 100%-48,23%= 51,77%

c) Какова вероятность того, что N бросков подряд ни разу НЕ выпадет шестерка?

Вероятность НЕ выпадения шестерки в каждом броске равна 25/36. Значит, в N бросках НЕ выпадение будет равно (25/36)^ N

b) Какова вероятность того, что в N бросках подряд выпадет хотя бы одна шестерка? Вероятность НЕ выпадения шестерки хотя бы в одном из N бросков подряд равна (25/36)^ N, значит, вероятность выпадения равна 1-(25/36)^ N

Этот ответ будет правильным для любой конкретной цифры, например для четверки:

Количество подряд бросков N	Вероятность того, что, в каком-нибудь из N бросков подряд выпадет хотя бы одна шестерка (или любая другая конкретная цифра)	Вероятность того, что, N бросков подряд НЕ выпадет ни одна шестерка (или любая другая конкретная цифра)
	30,56%	69,44%
	51,77%	48,23%
	66,51%	33,49%
	76,74%	23,26%
	83,85%	16,15%
	88,78%	11,22%
	92,21%	7,79%
	94,59%	5,41%
	96,24%	3,76%
	97,39%	2,61%

Еще несколько вероятностей, которые бывают нужны:

1. Какова вероятность, что выпадет 4 или 6 (хотя бы одна из двух цифр)?

Вероятность выпадения 4 равна 11 из 36, столько же для 6. Всего уже 22 из 36. Но считая варианты для 4, мы в т.ч. рассмотрели случаи 4-6 и 6-4, и то же самое сделали в расчете для 6. Значит, эти два случая посчитаны дважды. Вычитаем 2 из 22 и получаем ответ:

20/36 или 55,56%

Этот ответ будет правильным для любых двух разных цифр на зарах.

2. Какова вероятность, что выпадет 2, 4 или 6 (хотя бы одна из трех цифр)?

Вероятность выпадения 4 равна 11 из 36, столько же для 6 и для 2. Всего уже 33 из 36. Дважды посчитанные варианты: 2-4, 4-2, 2-6, 6-2, 4-6, 6-2. Вычитаем 6 из 33 и получаем ответ: 27/36 или 75,00%

Этот ответ будет правильным для любых трех разных цифр на зарах.

3. Какова вероятность, что выпадет два раза подряд один и тот же куш (например, 6:6)?

Вероятности в данном случае умножаются: (1/36)*(1/36)=(1/1296) или 0,077%

Вероятность бросить 3 раза подряд 6:6 равна (1/36)*(1/36)*(1/36)=(1/45565) или 0,0021%

Вероятность бросить 4 раза подряд 6:6 равна (1/36)*(1/36)*(1/36)*(1/36)=(1/1679616) или 0,00006%

Этот ответ будет правильным для любого конкретного куша.

4. Какова вероятность, что выпадет два раза подряд какой-нибудь куш (любой)?

Вероятности в данном случае умножаются: (1/6)*(1/6)=(1/36) или 2,77%

Вероятность бросить 3 раза подряд какой-нибудь куш равна (1/6)*(1/6)*(1/6)=(1/216) или 0,46%

Вероятность бросить 4 раза подряд какой-нибудь куш равна (1/6)*(1/6)*(1/6)*(1/6)=(1/1296) или 0,077%

5. Какова вероятность, что выпадет какой-нибудь (любой) куш хотя бы один раз из двух подряд бросков?

Вероятность, что не выпадет никакой куш, равна 5/6, что в двух подряд бросках не будет ни одного куша (5/6)*(5/6)=(25/36), значит, вероятность, что хоть раз выпадет, равна 1-(25/36)=(11/36) или 30,56%

Вероятность бросить хотя бы один раз какой-нибудь куш в одном из 3 бросков подряд равна 1-(5/6) ³ или 42,13%

Вероятность бросить хотя бы один раз какой-нибудь куш в одном из 4 бросков подряд равна 1-(5/6) ⁴ или 51,77%.

Вероятность бросить конкретный куш хотя бы раз из N бросков: 1 - (35/36) ^ N

Этот ответ будет правильным для любого конкретного куша.

СВОДНАЯ ТАБЛИЦА ВЕРОЯТНОСТЕЙ БАЗОВЫХ НАРДОВЫХ СОБЫТИЙ.

№	ВЕРОЯТНОСТЬ	Доли	%%
	Какой-либо конкретный куш	1 /3 6	2,78%
	Какой-либо конкретный обычный бросок	2 / 36	5,56%
	Какой-нибудь (любой) куш, не зависимо какой именно	6 / 36	16,67%
	Обычный бросок - НЕ КУШ, какой-нибудь	30 / 36	83,33%
	В броске будет какая-то конкретная цифра	11 / 36	30,56%
	В броске НЕ будет какой-то конкретной (одной) цифры	25 / 36	69,44%
	ДВА броска подряд ни разу НЕ выпадет конкретная цифра	625/1296	48,23%
	В двух бросках подряд выпадет хотя бы одна конкретная цифра	671/1296	51,77%
	Выпадет 4 или 6 (какая-то из двух заданных цифр)	20 / 36	55,56%
	Выпадет 2, 4 или 6 (какая-то из трех заданных цифр)	27 / 36	75,00%
	Выпадет два раза подряд один и тот же куш	(1/36)^2	0,07716%
	Выпадет три раза подряд один и тот же куш	(1/36)^3	0,00214%
	Выпадет четыре раза подряд один и тот же куш	(1/36)^4	0,00006%
	Выпадет два раза подряд какой-нибудь куш (любой)	(1/6)^2	2,78%
	Выпадет три раза подряд какой-нибудь куш (любой)	(1/6)^3	0,46%
	Выпадет четыре раза подряд какой-нибудь куш (любой)	(1/6)^4	0,07716%
	Выпадет какой-нибудь (любой) куш хотя бы один раз из двух подряд бросков?	1-(5/6)^2	30,56%
	Выпадет какой-нибудь (любой) куш хотя бы один раз из трех подряд бросков?	1-(5/6)^3	42,13%
	Выпадет какой-нибудь (любой) куш хотя бы один раз из четырех подряд бросков?	1-(5/6)^4	51,77%

Еще две интересные вероятности от Олега (ник os2006, данные с форума fpclub):

1. В партии, с количеством ходов N, вероятность получить К кушей (например, куша 66) имеет вид: N! / (N-K)! / K! * 35^(N - K) / 36^N. Для средней партии в длинные нарды получим таблицу и график ниже:

1. Также достойна внимания таблица:

Как часто партия должна заканчиваться с разницей в пипсах всего 10 (в пределах 1 броска)? А с разницей 20 пипсов? Смотрите ниже таблицу и график.

Пятая строка этой таблицы говорит о том, что каждая десятая партия должна заканчиваться с разницей в пипсах 50 очков. А первая строка должна вас приучить к тому, что примерно одинаково обоим игрокам (в пределах 10 пипсов разница) бывает только в каждой третьей партии. А в 2 из 3 партий разница будет больше.

Еще одна забавная цифра: если вы сыграете 200 партий, то 3 из них закончастя с разницей в пипсах около 100 очков.

Ну и, наконец, еще одна полезная таблица вероятностей.

Вероятность выбросить оставшиеся 2 шашки в самом конце игры:

Для того, чтобы таблица стала понятнее, несколько картинок с шашками:

1,1 – две шашки на выброс в пункте 24 (последняя позиция доски для белых).

2,5 – одна шашка в пункте 23 (предпоследняя позиция) и одна в пункте 20.

Взято с форума nardy.info.

Дата добавления: 2015-06-27