Активные фильтры второго порядка

Классификация фильтров и их основные характеристики

Классификацию фильтров можно осуществить по разным признакам, важнейшим из которых является признак, связанный с частотной полосой пропускания. По этому признаку различают следующие виды фильтров:

§ нижних частот (ФНЧ);

§ верхних частот (ФВЧ);

§ полосовые (ПФ);

§ режекторные или заграждающие (РФ).

Если фильтр пропускает гармоники с частотой от нуля до фиксированной частоты, называемой нижней частотой среза f _нср (w_нср = 2p f _нср), ослабляя при этом все частоты выше этой частоты, то этот фильтр относится к ФНЧ. Если же фильтр пропускает все гармоники с частотами, начиная от фиксированной частоты, называемой верхней частотой среза f _вср (w_вср = 2p f _вср), и ослабляет все частоты ниже этой частоты, то этот фильтр относится к ФВЧ. Фильтр, который пропускает гармоники с частотой, начиная от некоторой фиксированной нижней частоты среза f _нср до установленной верхней частоты среза f _вср, и подавляет гармоники со всеми другими частотами, то этот фильтр относится к ПВ. Наконец, если фильтр давит гармонику только с определённой фиксированной частотой f _р и пропускает все гармоники с другими частотами, то этот фильтр относится к РФ. Основными характеристиками фильтров согласно определению являются АЧХ и ФЧХ. Амплитудно-частотная характеристика Н (j w) = ç К (j w) çописывает изменение отношения выходной и входной амплитуд гармоники в зависимости от изменения её частоты. Фаза-частотная характеристика определяется функцией j(w), которая описывает изменение выходной фазы гармонического сигнала относительно её входного значения в зависимости от изменения частоты. Соответствующие частоты среза находятся из уравнения Н (w _i) = 0,707 =1/Ö2, где w _i устанавливает соответствующую частоту среза на уровне 0,707 или на уровне 3 дБ. По АЧХ, которая для наглядности обычно представляется графиком или аналитически в виде формулы, можно определить помимо соответствующих частот среза и другие параметры. К этим параметрам относятся полоса пропускания D f _п, полоса затухания фильтра D f _з и полоса подавления D f _пд.

Диапазон частот для АЧХ от нуля до f _нср или от f _вср и выше называется полосой пропускания. Так как АЧХ не может мгновенно понизиться до нуля после f _нср или наоборот повысится от нуля до f _вср, то существует определенный интервал частот АЧХ, превышающий f _нср или не превышающий f _вср, который называется полосой затухания (заграждения) или переходным интервалом частот. При этом нижний уровень затухания или соответственно возрастания АЧХ, определяющий переходный участок, соответствует для определённости величине a, равной, например 0,1 (рис. 1). Тогда переходный интервал частот определяется решением уравнений Н (w_{пз i}) = a и Н (w _i) = 0,707, где индекс i определяет соответствующую частоту среза на уровне a и 0,707. Все частоты выше или соответственно ниже w_{пз i} принадлежат к, так называемой, полосе подавления соответствующего фильтра.

Важной характеристикой является крутизна S (f ₁, f ₂) АЧХ фильтра, которая определяется по углу наклона АЧХ (АЧХ) в полосе заграждения и аналитически определяется из равенства

S (f ₁, f ₂) = 20 log [ Н (f ₁) / Н (f ₂)],

где Н (f ₁) и Н (f ₂) – значения АЧХ соответственно на частотах f ₁ и f ₂, взятых в пределах её полосы затухания.

Для оценки крутизны S (f ₁, f ₂) АЧХ фильтра в децибелах на декаду необходимо выполнение равенства f ₂ = 10 f ₁, а для ее оценки в децибелах на октаву – f ₂ = 2 f ₁.

Фильтры в зависимости от схемотехнического выполнения делятся на пассивные и активные. Активные фильтры отличаются от пассивных фильтров, прежде всего, наличием активного элемента, выполненного, например, в виде операционного усилителя.

На рис. 1 приведены иллюстрационные графики частотных характеристик с указанием их основных параметров и имеют ориентировочный вид.

Рисунок 1.– Иллюстрационные графики частотных характеристик ВНЧ, ВФЧ, ПФ

Поскольку частотные свойства фильтров, в том числе и крутизна АЧХ, определяются их передаточной функцией, то, в зависимости от ее вида, различают фильтры первого, второго и высших порядков.

Передаточная функция активного ФНЧ n -го порядка имеет вид

К (s) = К ₀/(1 + a ₁ s + a ₂ s ² +….+ a_nsⁿ),

где К ₀ – коэффициент передачи на постоянном токе.

Очевидно, что порядок передаточной функции определяется соответствующей схемой реального фильтра. Так, для фильтра первого порядка передаточная функция при s = j w и К ₀ = 1 описывается в виде

К (j w) = 1/(1 + RC j w),

где R и C номиналы резистора и конденсатора, входящих в схему фильтра, а ФЧХ имеет вид j (w) = – arc tg (w / w₀), поскольку w₀ = t^–1 при t = RC.

Из передаточной функции путём простых преобразований получаем АЧХ для ФНЧ первого порядка

Выполняя аналогичные действия, получаем АЧХ и ФЧХ для ФВЧ 1-го порядка

и

j (w) = p/2– arc tg (w / w₀).

Фильтры более высоких порядков можно построить каскадным соединением фильтров меньших порядков. Например, фильтр четвертого порядка можно создать с помощью последовательного соединения двух фильтров второго порядка. При этом передаточные функции перемножаются.

Схемы активных фильтров второго порядка включают в себя операционный усилитель (ОУ) хваченный отрицательной или положительной обратной связью в виде частотно-зависимых цепей. Примеры подобных фильтров приведены на рис. 2 (а, б, в).

Рисунок 2. – Схемы фильтров 2-го порядка на операционных усилителях ОУ: а – ФНЧ; б – ФВЧ; в – РФ.

Как следует из рис. 2 (а) ФНЧ 2-го порядка построен на основе каскадного соединения двух RC цепочек, причём, в первой RC цепочке конденсатор подключён к выходу ОУ и, тем самым, он образует положительную обратную связь для ОУ с целью увеличения коэффициента передачи фильтра на f _нср. Определение номиналов резисторов и конденсаторов осуществляется по заданной частоте f _нср в соответствии с формулами

и

Обычно предварительно задаются номиналами резисторов R ₁ и R ₂. Далее по приведённым формулам вычисляют номиналы конденсаторов, подбираю из справочника ближайшие к ним номиналы и при необходимости корректируют предварительно выбранные номиналы резисторов, чтобы обеспечить нужную частоту f _нср. Таким образом, расчёты выполняются последовательной корректировкой номиналов резисторов и конденсаторов, с целью обеспечения требуемого значения частоты f _нср и соответствие номиналов резисторов и конденсаторов серийно выпускаемому ряду.

Если в схеме а) поменять местами резисторы и конденсаторы, то в результате получим ФВЧ, схема которого приведена на рис. 2 (б).

Если последовательно соединить ФНЧ и ФВЧ с соответствующими АЧХ, то в результате получают ПФ.

На рис. рис. 2 (в) представлена схема РФ, собранного на основе Т- моста, образуемого резисторами и конденсаторами, как это указано на схеме. При этом выход повторителя выполненного на ОУ имеет обратную связь, подключённую согласно рисунка в точку, расположенную между конденсатором С ₁ и резистором R ₂. Благодаря такому включению, добротность Т -моста существенно увеличивается, что приводит к сужению полосу частот в окрестности частоты подавления РФ f ₀ = 1/(2 p R ₁ C ₂).

Дата добавления: 2015-07-02