Свойства равномерно сходящихся рядов

Теорема 1 (о непрерывности): сумма равномерно сходящегося функционального ряда (предел равномерно сходящейся функциональной последовательности) непрерывных функций является непрерывной функцией.

Без док-ва.

Теорема 2 а (об интегрировании последовательностей): пусть на и интегрируемы на . Тогда тоже интегрируема на и .

Без док-ва.

Теорема 2 b (об интегрировании рядов): пусть на и интегрируемы на и . Тогда тоже интегрируема на и .

Без док-ва.

Теорема 3 а (о дифференцировании последовательностей): пусть дифф. на и на . Если , такой что поточечно сходится к , то на .

Без док-ва.

Теорема 3 b (о дифференцировании рядов): пусть дифф. на и на . Если, кроме того, , такой что , то на .

Без док-ва.

Замечание 1: в условии теорем нельзя заменить равномерную сходимость на поточечную.

Замечание 2: равномерной сходимости не достаточно для дифференцируемости, например для , замечаем, что расходится ().

Дата добавления: 2015-07-02