Предельный переход в неравенствах

Арифметические действия над сходящимися последовательностями

Рассмотрим последовательности и .

1)если , а любое постоянное число, то .

Доказательство: ( б.м.п.); т.е доказать, что , означает, доказать что – б.м.п.: – б.м.п.

2)если , а , то .

Доказательство: ( б.м.п.) и ( б.м.п.) и пусть ; т.е доказать, что , означает, доказать что – б.м.п.: – б.м.п.

3)если , а , то .

Доказательство: ( б.м.п.) и ( б.м.п.) и пусть ; т.е доказать, что , означает, доказать что – б.м.п.: – б.м.п.

б.м.п. б.м.п. б.м.п.

4) если , а и , тогда что и .

Доказательство: пусть . Обозначим , тогда что . Рассмотрим и докажем, что – б.м.п.:

– б.м.п.

огр.п. б.м.п.

Рассмотрим последовательности , и .

1.Если , и, начиная с некоторго номера, выполняется неравенство , то .

Доказательство: допустим, что . Из равенств и следует, что для что при всех будут выполняться неравенства и т.е. и . Возьмем Тогда: т.е. и т.е. Отсюда следует, что . Это противоречит условию . Следовательно, .

2.Если , и справедливо неравенство (начиная с некоторого номера), то .

Доказательство: возьмем произвольный .

что при всех будут выполняться неравенства ; (1)

что при всех будут выполняться неравенства ; (2)

Если обозначить через , то (1) и (2) выполняются одновременно и можно написать следующие неравенства: , следовательно, имеет предел и .

Дата добавления: 2015-07-02