КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Теоретические сведения. Определение усилий в стержнях конструкции с помощью решения системы линейных алгебраических уравнений
Определение усилий в стержнях конструкции с помощью решения системы линейных алгебраических уравнений. Лабораторная работа № 2. Определения центра тяжести плоской фигуры». Ф.И.О. студента_____________________________ Группа_____________________________________ Дата_______________________________________ Преподаватель______________________________ 1). Выполнить чертёж плоской сложной фигуры на рисунке 1 Масштаб ______ Рисунок 1 – Разбивка сложной плоской фигуры на простые. 2) Записать результаты расчётов в таблицу 1.
Таблица 1 – Результаты расчётов
3) Записать координаты центров тяжести, определённые опытным путём и расчётом в таблицу 2. Таблица 2 – Координаты центра тяжести плоской фигуры В миллиметрах
4) Сделать вывод ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Работу выполнил (студент) «___»_____________20___ _______________________ (номер по журналу и подпись)
Работу принял преподаватель «___»________________20___ __________________________ (подпись)
Цель работы: ознакомиться с методами решения систем линейных алгебраических уравнений на примере задачи о расчёте стержневой конструкции (ферма, кран). Все методы решения систем линейных уравнений можно условно разбить на точные (прямые) и приближённые. К точным алгоритмам относят методы Крамера, Гаусса и т.д. Среди приближённых следует отметить прежде всего итерационные методы. Гауссовы преобразования. Рассмотрим два любых уравнения системы, выписав коэффициенты при неизвестных и в строках и : Преобразуем уравнение так, чтобы коэффициент при был равен 1, тогда коэффициенты при остальных переменных в этой строке будут равны: (, путём перестановки уравнений всегда можно добиться этого условия). Исключим из уравнения , определив коэффициенты как (). Преобразование матриц по этим формулам называется гауссовым, - разрешающим элементом, строка - разрешающей строкой, столбец - Сущность метода Гаусса заключается в том, что с помощью гауссовых преобразований исходную матрицу коэффициентов системы приводят либо к треугольному виду, либо к единичному базису (прямой ход метода), а затем находят неизвестные (обратный ход метода). Решение систем линейных уравнений итерационными методами. Метод простой итерации. Пусть дана система линейных уравнений . Предполагая, что диагональные коэффициенты , преобразуем систему к виду . Полученную систему будем решать методом последовательных приближений. За нулевое приближение примем столбец свободных членов . Далее последовательно строим матрицы-столбцы , , …, . Если последовательность приближений имеет предел , то этот предел является решением системы . Достаточным условием сходимости итерационной последовательности является выполнение одного из условий: , , , т.е. для успешного применения метода итерации модули диагональных коэффициентов системы уравнений должны быть велики по сравнению с модулями других коэффициентов.
Метод Зейделя представляет собой некоторую модификацию метода простой итерации. Основная его идея заключается в том, что при вычислении -го приближения неизвестной учитываются уже вычисленные ранее на этой итерации неизвестные . Обычно метод Зейделя даёт лучшую сходимость, чем метод простой итерации.
Расчёт усилий в стержнях жёсткой фермы. Для расчета усилий в стержнях фермы применим метод вырезания узлов. Пример. В мостовой ферме, изображённой на рисунке, на узлы С и D приходится одинаковая вертикальная нагрузка кН; наклонные стержни составляют углы 45 градусов с горизонтом. Определить опорные реакции и усилия в стержнях, вызываемые данной нагрузкой. Решение. При рассмотрении задач на расчёт стержневых конструкций основное допущение состоит в том, что каждый стержень находится в растянутом состоянии, т.е. его реакция (усилие в стержне) направлена так, что стремится сжать стержень. В соответствии с методом вырезания узлов, выбираем каждый узел и изображаем силы, действующие в нём. Затем записываем условия равновесия в проекциях на оси координат. Систему координат выберем таким образом, что ось направлена вправо, а ось - вертикально вверх.
Узел А: условия равновесия в проекциях на оси ( -реакция подвижной опоры) Х: (1) Y: (2)
Х: (3) Y: (4)
Х: (5) Y: (6)
Узел Е: условия равновесия в проекциях на оси Х: (7) Y: (8)
Узел D: условия равновесия в проекциях на оси ( - компоненты реакции неподвижной опоры D) Х: (9) Y: (10)
Полученная система уравнений (1) – (10) является системой линейных уравнений относительно неизвестных . Эта система уравнений может быть решена различными способами. Мы применим для её решения итерационные методы. Расширенная матрица этой системы выглядит следующим образом:
Воспользуемся для нахождения решения надстройкой «Поиск решения» в MS Excel.
На рисунке представлена расширенная матрица полученной системы и условия для поиска решения. Результат поиска решения представлен на следующем рисунке: Таким образом, получены следующие результаты: Усилия в стержнях: , , , , , , . Знак «минус» говорит о том, что усилие направлено противоположно выбранному нами направлению. Опорные реакции: , , .
Задание для выполнения работы. Вариант 1. В мостовой ферме, изображённой на рисунке, на узлы С и D приходится одинаковая вертикальная нагрузка кН; наклонные стержни составляют углы 45 градусов с горизонтом. Определить опорные реакции и усилия в стержнях, вызываемые данной нагрузкой. Вариант 2. В мостовой ферме, изображённой на рисунке, узлы С, D и Е загружены одинаковой вертикальной нагрузкой кН. Наклонные стержни составляют углы 45 градусов с горизонтом. Определить опорные реакции и усилия в стержнях, вызываемые данной нагрузкой. Вариант 3. В мостовой ферме, изображённой на рисунке, на узел С действует вертикальная нагрузка кН. На узел Е действует горизонтальная сила кН. Наклонные стержни составляют углы 45 градусов с горизонтом. Определить опорные реакции и усилия в стержнях, вызываемые данными нагрузками. Вариант 4. Определить опорные реакции и усилия в стержнях крана, изображённого на рисунке, при нагрузке в 8кН. Весом стержней пренебречь. Вариант 5. Определить опорные реакции и усилия в стержнях стропильной фермы, изображённой вместе с приложенными к ней силами на рисунке.
Вариант 6. Определить опорные реакции и усилия в стержнях мостовой фермы, изображённой вместе с приложенными к ней силами на рисунке.
Вариант 7. Определить опорные реакции и усилия в стержнях сооружения, изображённого вместе с приложенными к нему силами на рисунке.
Вариант 8. Определить опорные реакции и усилия в стержнях сооружения, изображённого вместе с действующими на него силами на рисунке.
Вариант 9. В мостовой ферме, изображённой на рисунке, на узлы С и D действует вертикальная нагрузка кН. На узел B действует вертикальная сила кН. Наклонные стержни составляют углы 45 градусов с горизонтом. Определить опорные реакции и усилия в стержнях, вызываемые данными нагрузками. Вариант 10. В мостовой ферме, изображённой на рисунке, на участке BN действует равномерно распределённая нагрузка, величиной . Наклонные стержни составляют углы 45 градусов с горизонтом. Определить опорные реакции и усилия в стержнях, вызываемые данной нагрузкой, если известно, что , а .
Дата добавления: 2015-07-02; Просмотров: 426; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |