Лабораторная работа №3. Данная работа является введением в анализ измерения связей между случайными величинами

ТЕОРИЯ

Данная работа является введением в анализ измерения связей между случайными величинами. Такая связь еще называется корреляцией.

Исследователей часто интересует, как связаны между собой две переменные в данной популяции объектов (классы, школы, нации и так далее). Например, имеют ли ученики, научившиеся читать раньше других, тенденцию к более высокой успеваемости в шестом классе? Связана ли средняя длина волос у женщин со средним показателем IQ (Intelligence Quotient – коэффициент умственного развития)? Очевидно, что для ответа на такие вопросы необходимо провести наблюдения по каждой переменной величине для группы объектов. Данные, собранные таким образом, можно представить в виде Таблицы 1:

В этой таблице приводятся данные по оценке IQ и успеваемости по химии, которые изучались у 12 школьников.

Связь между двумя переменными можно представить в виде диаграммы рассеяния. На этой диаграмме каждый ученик изображается точкой. По оси Х — коэф. IQ, по оси Y — количество баллов.

Если данные представить в виде точек на плоскости, с координатами (Оценка IQ; Оценка в баллах), то мы получим Диаграмму Рассеяния, которая характеризует связь между двумя наборами данных. По внешнему виду диаграммы рассеяния можно сделать предположение о виде связи между двумя наборами данных. В приведенном примере связь явно – линейная, т.е. с ростом IQ растут и показатели успеха по химии у учеников.

Рис. 3. Внешний вид диаграммы рассеяния для данных, приведенных в Таблице 1.

Введем обобщенную меру связи:

.

Величина s_xy — называется ковариацией X и Y. (Ковариация Х с самим собой — просто дисперсия Х. Формулу предлагается вывести самостоятельно).

Ковариация является вполне удовлетворительной мерой связи во многих задачах физики, техники и гуманитарных наук.

Вычитание значений X и Y из соответствующих средних сделало s_xy — независимым от средних значений. Чтобы избавить меру связи от влияния квадратичных отклонений двух групп значений, надо только разделить s_xy на s_x и s_y (средние квадратичные отклонения для эмпирических данных). В результате получится коэффициент корреляции произведений моментов — Пирсона и обозначается r_xy:

.

Расчетная формула для коэффициента корреляции получается путем преобразований и имеет вид:

Будем рассматривать так называемую линейную связь (простейший случай связи), когда случайную функцию Y(X) = aX + b, можно представить в виде линейной зависимости. Ясно, что если корреляция существует, но не описывается линейным уравнением, то такую связь называют нелинейной.

Область изменения r_xy

Значения r_xy находятся в пределах [-1; +1]. Различные диапазоны значений коэффициента корреляции представлены в таблице:

Величина rxy	Описание линейной связи	Диаграмма рассеяния
Около +1.00	строгая (сильная) прямая связь	Y     X
Около +0.50	Слабая прямая связь	Y   X
Около 0.00	Нет связи (то есть ковариация X и Y = 0)	Y   X
Около -0.50	Слабая обратная связь	Y   X
Около -1.00	Строгая (сильная) обратная связь	Y   X

ЗАДАНИЕ

1. По данным теста, измеряющего способность студентов к абстрактному и вербальному мышлению, построить:

1.1 Диаграмму рассеяния.

1.2. Рассчитать коэф. корреляции r_xy и оценить вид связи (прямая, обратная, сильная, слабая, нет связи).

1.3. По внешнему виду диаграммы рассеяния определить, является ли связь линейной.

Таблица оценки вербального и абстрактного мышления средней школы в Иллинойсе (оценка в условных единицах).

Таблица 2.

Ученик	Х Абстрактное мышление	Y Вербальное мышление	Ученик	X Абстрактное мышление	Y Вербальное мышление

Магнитные диски.

Дата добавления: 2015-07-02