Новая кодовая шпаргалка по математике для ЕНТ 2013

Класс

З А Д А Н И Я

ІІ этапа (районного, городского)

республиканской олимпиады

по математике

(2008-2009 учебный год)

ВИТЕБСК • 2008

1. Докажите, что существует решение уравнения 29х + 30у + 31z = 366 в натуральных числах.

2. Прямоугольник разделен на 4 прямоугольника, площади которых 3, 4, 5 и х. Найдите х (см.рис.)

х

3. Какое из чисел

А = + + … + или

В = + + + …+ больше? (Обоснуйте ответ)

4. Трое мальчиков имеют по некоторому количеству яблок. Первый мальчик дает другим столько яблок, сколько каждый из них имеет. Затем второй мальчик дает двум другим столько яблок, сколько каждый из них теперь имеет; в свою очередь и третий дает каждому из двух других столько, сколько есть у каждого в этот момент. После этого у каждого из мальчиков оказывается по 8 яблок. Сколько яблок было у каждого мальчика в начале?

5. Докажите, что натуральное число, десятичная запись которого состоит из 2009 единиц и любого числа нулей, не может быть точным квадратом.

(9′) 9 класс

1. Между числами 1, , , … поставьте в любом порядке знаки «+», «–», «·» и «:» (скобки использовать нельзя), так, чтобы полученное выражение равнялось нулю.

2. Квас заполняет несколько бутылей по 50 л каждая. Если его разлить в 40-литровые бутыли, то понадобится на 5 бутылей больше, причем одна из них останется неполной. Если же этот квас разлить в бутыли по 70 литров, то понадобится на 4 бутыли меньше, и тоже одна неполная. Сколько литров кваса было?

3. В треугольнике АВС угол А тупой, а перпендикуляры, проведенные к сторонам АВ и АС через точку А, делят сторону ВС на три равные части. Найдите углы треугольника АВС.

4. Трехзначное число записали подряд 2007 раз и получилось число, делящееся на 91. Найдите наименьшее и наибольшее из таких трехзначных чисел.

5. Числа х, у, z таковы, что

х+у = z+у

ху+z²+14-7z=0

При каких значениях z сумма х²+у² максимальна? Найдите это максимальное значение.

(11′) 11 класс

1. Графики функций f(х) = 2х²-2х-1 и q(х) = -5х+2х+3 пересекаются в двух точках. Найдите коэффициенты а и в в уравнении прямой у=ах+в, проходящей через те же точки.

2. Три числа 8х, 3-х² и -4 в указанном порядке образуют убывающую арифметическую прогрессию. Найдите х и укажите разность этой прогрессии.

3. Имеет ли решение в целых числах уравнение х⁴+у⁴+z⁴+ν⁴=2008? (Обоснуйте ответ)

4. В треугольнике АВС проведены биссектрисы АК и ВL. Найдите LА, если известно, что КL – биссектриса угла АКС.

5. Найдите наименьшее значение суммы + + , если х≥0, у≥0, z≥ 0 и х+у+z=1.

0●(–π/2+πn; π/2+π/n) n*Z

0●(π/4+πn) |sinx+cosx=0|

0●π/4+πn |sinx–cosx=0|

0●π/2+2πn<x<3π/2+2πn,n*Z |cosx<0|

0●2<x<π+2πn |cosx>0|

0●2πn<x<π+2πn,n*Z |sinx>0|

0●πk/2, k*Z |sinx·cosx=0|

0●2πk+π/2<x<5π/2+2πk |sinx–cosx>0|

0●0 |√x+√–x=0|

0●1

0●1 f(x)-ex–e-x/ex+-x

0●1/k•F(kx+b)

0●2 |π ∫ 0 sin xdx|

0●2 (y=sinx [0; x]

0●√2-1

0●√2-1 (y=sinx,y=cosx, x=0)

Дата добавления: 2015-07-02