Доверительный интервал

Смысл измерений заключается не в определении значения величины, а в установлении интервала, внутри которого находится действительное значение измеряемой величины.

Например, а = 15,00 ± 0,05 означает, что действительное значение измеряемой величины находится в пределах от 14,95 до 15,05, а не равно 15,00.

Поскольку истинное значение измеряемой величины неизвестно, то с границами интервала сравнивают среднее арифметическое значение , полученное в результате ряда измерений. Оно отличается от истинного значения на величину погрешности измерения.

В математической статистике для оценки точности и надежности измерений пользуются понятиями доверительный интервал и доверительная вероятность.

Поступают следующим образом. Не зная истинного значения измеряемой величины x, опытным путем находят среднее арифметическое значение . Если при этом принять достаточно большую вероятность (например, ), чтобы событие с вероятностью можно было бы считать практически достоверным и найти значение погрешности измерения e, для которого выполняется условие

P(| x_i - | < e) = ,

то интервал практически возможных значений ошибки будет ± e. Ошибки, превышающие по абсолютной величине e, будут маловероятны. Из сказанного выше следует, что с вероятностью b неизвестное значение x попадает в интервал I_b.

I_b = (I₁ = ; I₂ = ).

Вероятность b называют доверительной вероятностью, а интервал I_b - доверительным интервалом.

Значения I₁ и I₂ представляют собой границы доверительного интервала

I₂ – I₁= 2e_b.

Для нормального распределения результатов измерений известно решение математика Госсета, который опубликовал его под псевдонимом Стьюдента (student). С помощью распределения Стьюдента (таблица Стьюдента) можно найти отклонение среднего арифметического от истинного значения измеряемой величины. В условиях задач 2 и 3 приведены данные из таблицы Стьюдента, необходимые для решений.

Дата добавления: 2015-07-02