Предел функции в точке

Предел функции в бесконечности.

С понятием предела числовой последовательности тесно связано понятие предела функции в бесконечности. Если в первом случае переменная возрастая, принимает лишь целые значения, то во втором случае переменная , изменяясь, принимает любые значения.

Число называется пределом функции при стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от ), что для всех таких что , верно неравенство: . Предел функции обозначается: или при .

Можно сформулировать понятие предела при стремлении к бесконечности определенного знака, т.е. при и при . В первом случае, основное неравенство: должно выполнятся для всех таких, что , а во втором – для всех таких, что .

Пусть функция задана в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки .

Число называется пределом функции при стремящемся к (или в точке ), если для любого, даже сколько угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от ), что для всех , не равных и удовлетворяющих условию , выполняется неравенство . Это предел функции обозначается: или при .

Если при стремлении к переменная принимает лишь значения, меньшие , или наоборот, лишь значения большие , и при этом функция стремится к некоторому числу , то говорят об односторонних пределах функции соответственно слева и справа .

Теорема. Если в некоторой окрестности точки (или при достаточно больших значениях ) функция заключена между двумя функциями и , имеющими одинаковый предел при (или ), то функция имеет тот же предел .

Сформулируем основные теоремы о пределах. Пусть и - функции, для которых существуют пределы при (): , .

1) Функция не может иметь более одного предела.

2) Предел от постоянной величины равен этой величине, т.е. .

3) Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т.е. .

4) Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, т.е. .

В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е. .

5) Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен нулю), т.е. .

6) .

7) Если , , то предел сложной функции .

8) Если в некоторой окрестности точки (или при достаточно больших ) , то .

Дата добавления: 2015-07-02