Сложные проценты

Идея сложных процентов очень проста. В них, в отличие от простых про­центов, существует период времени, по истечении которого проценты начисляются не только на имеющуюся в начале этого периода сумму, но и на накопившиеся к его концу проценты. Конечно, интервал этот может быть разным по длине, например, месяц или год. Но если уж он выбран, то является циклическим, т.е. на некотором промежутке ось времени раз­бивается этими периодами, а равные части, как линейка на сантиметры. В то же время так же, как и простые проценты, сложные не могут не существовать!

Но если без простых процентов нельзя обойтись из-за соображений удоб­ства в обращении или, скажем, ощущения справедливости линейной за­висимости вознаграждения от суммы кредита и времени, то в случае сложных процентов основную роль играет наличие свободной конкуренции.

Формула наращения сложных процентов

S = P(1 + i)ⁿ (6)

Р - первоначальная сумма долга;

S - наращенная сумма, или сумма в конце срока;

i - ставка наращения (десятичная дробь);

n - срок ссуды.

Например,

Задача 2

Если положить на срочный вклад 100 000 под 60% годо­вых и на два года, то в результате на этом вкладе окажется 220 000, если действует формула начисления простых процентов (3) и ставка завсеэто время не изменится:

S = 100 000(1+2*0,6) = 220 000.

А если через год снять имеющуюся на счету сум­му 160000 и положить на такой же срочный вклад, но в другом банке, то через те же два года получится сумма 256 000 = 160 000 + 96 000, очевидно, на 36 000 большая. Но ведь первый банк не захочет потерять своего клиента-вкладчика и потому сразу предложит ему формулу(6): S = 100 000(1+0, 6)² =256 000.

Переменные процентные ставки

В некоторых случаях(каких) ставка может изменяться во времени, тогда формула начисления сложных процентов примет вид:

S = P(1 + i)ⁿ¹ (1 + i)ⁿ² … (1 + i)^nk. (7)

Математическое дисконтирование

P = S/(1+i)ⁿ (8)

Р - первоначальная сумма долга;

S - наращенная сумма, или сумма в конце срока;

i - ставка наращения (десятичная дробь);

n - срок ссуды.

Задача 3

Банк предлагает 50% годовых. Каков должен быть первоначальный вклад, чтобы через три года иметь на счете 100 000?

Решение

По формуле (8):

P = 100 000 / (1+0,5)³ = 29600.

Сравнение роста по сложной и простой процентной ставке

Сравним множители наращения по простой и сложным процентным ставкам. При сроке большем нуля и меньше года множитель наращения по простой процентной ставке превосходит множитель наращения по сложной:

(1+ni) > (1+i)ⁿ

При сроке больше года множитель наращения по сложной прцентной ставке больше множителя по простой:

(1+ni) < (1+i)ⁿ

При сроках, равных нулю и единице, множители наращения по сложным и простым процентам равны.

S

p

0 1 n время

Для наглядности рассмотрим таблицу «Простые и сложные проценты для капитала P =100 000»

года	3%	9%	15%	20%
Прост.	Слож.	Прост.	Слож.	Прост.	Слож.	Прост.	Слож.

Насколько прогрессивна сложная процентная ставка, очевидно, ее более интенсивный рост при увеличении срока капитализации и доходности налицо.

Инфляция

Изменение стоимости за счет инфляции:

С= S*J (9)

C – номинальная стоимость,

S – реальная стоимость (та, которая бы была, если бы не было инфляции),

J – индекс инфляции, равный 1+ j,

j – процент инфляции.

Инфляция является цепным процессом и всегда учитывается по формуле сложного процента.

Таким образом инфляция пораждает такие понятия, как реальная и номинальная процентные ставки. Под реальной процентной ставкой понимают ставку процента i, который бы капитализировался не будь инфляции j. Под номинальной процентной ставкой h понимают ставку, применяемую инфляционным деньгам. Эти ставки (для сложных процентов) соотносятся:

1+h = (1+i) (1+j), (10)

откуда получаем

h = i + j + ij. (11)

Часто последним членом пренебрегают, т.е.:

h=i +j, (12)

рассчитанная таким образом номинальная ставка не сильно отличается от рассчитанной по формуле (12), но только в случае если инфляция не существенна. Если темпы инфляции высоки, то пренебрегать последним членом нельзя.

Список литературы

1) Балабанов И.Т. «Основы финансового менеджмента», М: «Финансы и статистика» 2001;

2) Жуленев С.В. «Финансовая математика» изд. МГУ 2001;

3) Комзолов А.А., Максимов А.К., Миловидов К.Н. «Финансово-математические модели» изд. «РГУНГ им.И.М. Губкина» 1997.

[1] В России именно такой подход, хотя он и звучит иначе: первый и последний день считаются за один день,

Дата добавления: 2015-07-02