КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Нахождение собственных векторов и собственных значенийЕвгений 8-921-285-86-22 Администрацию магазина не беспокоить! Заходите на наш сайт: www.vkontakte.ru/evropromo Определение. Вектор называется собственным вектором матрицы (оператора) А, если выполняется: , где — собственные значения матрицы (оператора) А. Нахождение собственных векторов и собственных значений сводится к решению уравнения: , которое в свою очередь сводится к: — характеристическое уравнение. Теорема. Пусть собственные значения оператора А различны. Тогда соответствующие им собственные вектора линейно независимы. (Собственные вектора, независимые между собой, образуют ортогональный базис). Следствие. Если характеристический многочлен оператора имеет n различных корней, то в некотором базисе матрица оператора А имеет диагональный вид. Если этот базис составлен из собственных векторов, а — матрица, состоящая из собственных векторов, то эта матрица ортогональная, т.е. (или, что эквивалентно, ). Пусть матрица А — симметричная, т.е. , тогда — диагональная, причем впоследствии покажем, что по ее диагонали будут расположены собственные значения. Пример 1. Найти собственные вектора и собственные значения матрицы . . Заметим, что матрица — не симметричная, поэтому она не сведется к диагональной. Решение: Собственные вектора – это такие вектора, при которых , где — собственный вектор, а - собственное число. Найдем собственные значения : , Найдем собственные вектора для каждого собственного значения: Получаем: , где — произвольное число. Пронормируем этот вектор: . Получаем собственные вектора для данного собственного значения: Пронормируем: . Ответ: Cобственные значения матрицы: собственные вектора: и . Пример 2. Привести матрицу к диагональному виду: . Решение: . Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые: . Подбором найдем корень . Поделим на него многочлен, впоследствии решим квадратное уравнение и получим три искомых корня: Для каждого собственного значения необходимо найти собственный вектор: Получим систему уравнений, из которой найдем собственный вектор: , где — произвольное число. Методом подбора можно получить множество различных векторов. По теореме собственные векторы линейно независимы, если собственные значения оператора различны. В нашем случае, оператору соответствуют два совпадающих собственных значения . Поэтому среди множества векторов, получившихся при , выберем линейно независимые. Векторы ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю. Получим: и . Тогда получим два собственных вектора при собственном значении : . Таким образом, собственные векторы оператора : . Ортонормированная система собственных векторов: . Матрица имеет вид: Для приведения матрицы к диагональному виду по формуле: , необходимо найти матрицу, обратную матрице . Поскольку матрица , согласно следствию из теоремы, ортогональная, то для нее будет выполняться: . А так как найти транспонированную матрицу проще, чем обратную, то: Для матрицы имеем: Итак, матрица имеет диагональный вид, по диагоналям расположены собственные значения: . Упражнение. Найти собственные вектора, собственные значения матрицы . Привести матрицу к диагональному виду: . Решение. Матрица симметричная, поэтому она диагонализируема. Найдем собственные значения : , Найдем собственные векторы для данных собственных значений: Получаем: , где — произвольное число. Пронормируем этот вектор: . Получаем собственные вектора для данного собственного значения: Пронормируем: . Таким образом, собственные векторы оператора : . Ортонормированная система собственных векторов: . Матрица имеет вид: . Для приведения матрицы к диагональному виду по формуле: , необходимо найти матрицу, обратную матрице . Поскольку матрица , согласно следствию из теоремы, ортогональная, то для нее будет выполняться: . А так как найти транспонированную матрицу проще, чем обратную, то: Для матрицы имеем: Итак, матрица имеет диагональный вид, по диагоналям расположены собственные значения: . Интерпретация понятия «собственный вектор» (автор — Маресов А.Г., выпускник физфака МГУ, сотрудник аналитического центра «Газпромбанка»). Любое уравнение физики связано операторами через собственные вектора: Пример 1. При деформации тела возникает сила, которая стремится восстановить прежние размеры и форму тела. Эта сила возникает вследствие электромагнитного взаимодействия между атомами и молекулами вещества. Ее называют силой упругости. Простейшим видом деформации является деформация растяжения (Рис. 1 и Рис. 2) (Рис.1)
(Рис.2) Внешняя сила, действующая на пружину и растягивающая ее равна: При малых деформациях () сила упругости пропорциональна деформации тела и направлена в сторону, противоположную направлению перемещения частиц тела при деформации: По II закону Ньютона, сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение, Ускорение — есть вторая производная по времени от расстояния (изменения координаты): — есть принятое в физике обозначение второй производной по времени. Подставив в исходное уравнение, имеем; , . В физике введено обозначение — Круговая частота свободных колебаний груза на пружине, собственная частота колебательной системы или угловая скорость для математического маятника, равная . Тогда формула упрощается: . Таким образом оператор второй производной по времени так действует на , что он преобразуется в . . Пример 2. Оптика. Отражение и преломление На границе раздела двух прозрачных сред свет может частично отразиться так, что часть световой энергии будет распространяться после отражения по новому направлению, а частично пройти через границу и распространяться во второй среде. Закон отражения света: Угол отражения равен углу падения . Закон преломления: Отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина, постоянная для двух данных сред: Рассмотрим упрощенный случай: Луч падает под прямым углом в среду, для которой (относительный показатель преломления второй среды относительно первой) равен 1.
Пусть луч входящий — собственный вектор . После отражения и преломления он превращается в луч отраженный или луч преломленный. Все три вектора — коллинеарные. · Луч отраженный равен ; · Луч преломленный равен . Таким образом, в данном случае оператором, действующим на собственные вектора является сама среда: Пример 3. Если матрица — такое преобразование, что между первоначальным и конечным базисом может быть ось симметрии, то эта ось симметрии — есть собственный вектор.
Таким образом, определение собственного вектора (1) (словесная формулировка): Если — собственный вектор преобразования , то при этом преобразовании он переходит сам в себя, только становится кратным .
Дата добавления: 2015-07-02; Просмотров: 1292; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |