В дальнейшем по тексту под термином «объект» необходимо подразумевать СИ, СИспыт., СКонтр. 2 страница

Буквы в скобках условно обозначают случайные события — работоспособные состояния элементов. Событие, соответствующее отказу элемента, помечается чертой сверху, т.е. (), (), (), (), (), (), (), ().

Очевидно, для того, чтобы наступило желаемое событие (обозначаемое здесь R) - «БСН работоспособен», необходимо чтобы наступили все перечисленные события.

Эту взаимосвязь можно изобразить с помощью расчетной схемы надёжности БСН по критерию работоспособности (Рисунок 11.5). Путь, соединяющий исходный узел А с конечным узлом Е на схеме расчета надёжности, существует только тогда, когда работоспособны все элементы.

Рисунок 11.5 - Схема расчета надёжности БСН по критерию работоспособности.

Схема расчета надёжности БСН по критерию отказа на на рисунке 11.6.

Рисунок 11.6 – Схема расчёта надёжности БСН по критерию отказа.

Начальный и конечные узлы сети обозначены здесь соответственно через и . Поскольку система неработоспособна, если отказал хотя бы один элемент, то начальные и конечные узлы всех ребер должны совпадать соответственно с начальным узлом системы и с ее конечным узлом , поэтому все события на рисунке…… представлены параллельно включенными элементами.

При построении дерева отказов исходят из отказа системы («вершинное событие») и сводят это событие к отказам элементов («базисные события»).

Логические связи между базисными событиями, которые порождают вершинное событие, отражаются в направленном графе, имеющем древовидную структуру. Дерево отказов для примера с БСН показано на рисунке 11.7.

Рисунок 11.7 - Дерево отказов.

Базисные события , , ,…., связаны между собой логическими звеньями ИЛИ (знак V). Менее употребительным является построение так называемых деревьев работоспособности. Для примера с БСН дерево работоспособности имеет вид, изображенный на рисунке 11.8. События N, M, Oсоединены логическими звеньями И (знак Ù).

Рисунок 11.8 - Дерево работоспособности.

Параллельной системой называется такая система, которая работоспособна, если работоспособен хотя бы один из ее элементов; она отказывает тогда и только тогда, когда отказывают все ее элементы.

Параллельные системы также часто встречаются в реальных технических системах. Для нее расчетная схема надёжности по критерию работоспособности изображается в виде параллельного включения элементов, обозначающих соответствующие события.

Пусть событие, состоящее в том, что v – Й элемент работоспособен, обозначается через X_v, v =1,...,п. Событие, состоящее в работоспособности системы, обозначим через S, а состояния отказа помечаются чертой сверху.

Тогда для параллельной системы имеем четыре формы графического представления, изображенные на рисунке 11.9.

Рисунок 11.9 – Различные формы графического представления схем расчета надёжности для параллельной системы.

Часто оказывается, что исследуемая техническая система не является чисто параллельной или последовательной, а представляет собой синтез этих двух типов, т.е. является комбинированной системой (Рисунок 11.10).

Рисунок 11.10 – Пример комбинированной системы(синтез параллельной и последовательной систем).

Одни и те же расчетные схемы надёжности могут получаться для совершенно различных объектов. Например, элементы 1, 2, 3, 4, 5 на рисунке 11.11 могут означать электрические соединения.

В зависимости от задачи исследования на практике отдается предпочтение тому или иному из четырех способов представления расчетных схем надёжности:

- расчетной схеме по критерию работоспособности;

- расчетной схеме по критерию отказа;

- дереву отказов;

- дереву работоспособности.

Однако принципиально они аналогичны и могут быть сведены одна к другой. Если сравнить модели надёжности, имеющие вид двухполюсных сетей, с моделями, имеющими вид деревьев, то видна тесная связь между деревьями отказов и расчетными схемами надёжности по критерию отказа, с одной стороны, и деревьями работоспособности – с другой.

При формировании дерева отказов исходят из определенного нежелаемого вершинного события и анализируют возможные причины его возникновения. При этом, естественно, стремятся к разумной степени детализации. Готовое дерево отказов представляет в виде логической диаграммы все последовательности событий, которые могут привести к основному событию.

С помощью метода деревьев отказов получают:

- систематизированное представление всех возможных причин вершинного события (отказа системы) и их взаимодействие;

- обозримый и доступный для изучения материал анализа причин отказа;

- параметры надёжности системы, полученные в результате количественного анализа деревьев.

Построение дерева отказов предполагает детальный анализ процесса функционирования системы.

Одному и тому же вершинному событию, как правило, можно поставить в соответствие несколько различных деревьев отказов. Прежде чем начать построение дерева отказов, нужно выполнить следующие предварительные действия:

- проанализировать (при необходимости – составить) детальное описание рабочего процесса рассматриваемой системы, включая анализ подсистем(схемы, описания конструкции и т.д.), в том числе всех значимых параметров элементов;

- проанализировать физические и химические свойства материалов, используемых в устройствах, связанных или соседствующих с рассматриваемой системой;

- проанализировать характеристики безотказности, которые для элементов исследуемой системы должны быть известны;

- использовать соответствующую удобную символику обозначений.

Исходным моментом построения дерева отказов является установление вершинного события для исследуемой системы. Далее рассматриваются возможности представления вершинного события как отказ одного из элементов системы. Если это возможно, то такое событие соединяется звеном ИЛИ с тремя входами - «первичный отказ», «вторичный отказ», и «эксплуатационный отказ». Если это не так, то пытаются свести вершинное событие к таким отказам, которые сами по себе или совместно порождают основное событие.

Необходимо следить, чтобы список причин был полным, так как упущение возможных событий, приводящих к отказам, является основной причиной погрешностей при построении деревьев отказов.

Установленные события - отказы, как и вершинное событие, подвергаются дальнейшей детализации. Из каждого такого события развивается «ветвь дерева». Общая схема построения дерева отказов представлена на рисунке 11.11.

Структурные функции сложных систем

Ранее нами отмечалось, что в СС имеются два вида зависимостей:

- между элементами системы;

- зависимость элемент – система.

При выборе структурных функций (математических моделей структур) преобладающей является зависимость элемент – система.

Для обозначения i-го элемента системы принимаем булевы переменные:

.

При этом состояние системы, имеющей nэлементов, можно характеризовать n-мерным вектором .

Множество возможных состояний системы будет равным 2ⁿ. В зависимости от конкретной структуры системы все это множество состоит из двух подмножеств, соответствующих состояниям работоспособности и неработоспособности системы. Тогда на множестве представляется целесообразным задать определенную булеву функцию , которая называется структурной функцией:

Предполагая далее, что состояние системы полностью определяется состоянием ее элементов, можно записать как (11/25):

, (11/25)

где x = (x₁,……,x_n).

Рисунок … - Общая схема построения дерева отказов

Рисунок 11.11 - Общая схема построения дерева отказов.

Рассмотрим несколько простейших структур системы и соответствующих булевых функций.

Последовательная структура системы – структура, при которой отказ хотя бы одного элемента системы приводит к ее отказу. Это свойство системы представляется с помощью формулы структурной функцией последовательной системы 11.26:

(11.26)

Графическое представление структуры приведено на рисунке 11.12.

1 2 n

Рисунок 11.12 – Последовательное соединение элементов

Система с параллельной структурой (Рисунок 11.13) работоспособна тогда, когда работоспособен хотя бы один из ее элементов. Структурная функция в этом случае:

, (11.27)

где .

Дополнительно вводится обозначение: .

Рисунок 11.13 – Параллельное соединение элементов.

Структура системы, при которой она работоспособна только тогда, когда не менее k из n элементов работоспособны, называют структурой типа «kиз n». Структурная функция такой системы представляется в виде системы (11.28):

. (11.28)

Необходимо заметить, что параллельная и последовательная структуры являются частными случаями структуры «kизn», поскольку структура «nизn», есть последовательная, а «1изn» - параллельная.

Иллюстрацией структуры «2 из 3» может служить рисунок 11.14. Структурная функция имеет в этом случае вид:

Эту систему в теории надёжности называют последовательно-параллельной.

Рисунок 11.14 – Структура типа «2 из 3».

Более распространенный другой тип смешанного соединения элементов – параллельно-последовательная структура (Рисунок 11.15), структурная функция которой представляется в виде (11.29):

. (11.29)

Рисунок 11.15 - Параллельно-последовательная структура

Сложные структуры, которые могут быть упрощены путем сведения к простейшей двухполюсной схеме (одному элементу), называются системами с приводимой структурой (Рисунок 11.16).

Рисунок 11.16 – Схема трансформации системы с приводимой структурой.

Система с неприводимой структурой (Рисунок 11.17) таких преобразований не допускает, поэтому структурный анализ таких систем является более сложным.

Рисунок 11.17 – Система с неприводимой структурой.

Представление состояния системы через бинарную функцию , а элементов через булевы переменные позволяет значительно упростить процедуру расчета безотказности за счет использования свойств поглощения логических переменных.

В этом случае математическое ожидание случайной величины:

есть показатель безотказности i-го элемента в произвольный момент времени, т.е. .

В случае независимости элементов и :

(11.30)

Аналогичным образом определяется показатель надёжности системы:

, (11.31)

где и .

Для определения вероятности безотказной работы с последовательной структурой в произвольный момент времени:

(11.32)

Для системы с параллельной структурой:

(11.33)

Для структуры «2 из 3»:

(11.34)

В предположении система «kизn» имеет функцию надёжности (11.35):

, (11.35)

где - число сочетаний из n элементов по i.

Нижняя и верхняя оценки вероятности безотказной работы системы:

(11.36)

Здесь - оператор математического ожидания, примененный к выражению (11.37):

(11.37)

поскольку характеристики любой приводимой системы снизу характеристиками системы с последовательной структурой, а сверху характеристиками системы с параллельной структурой.

Резервирование в сложных системах

Среди постоянных инженерных проблем – создание систем с высокими показателями надёжности из ненадёжных элементов путем соответствующей организации избыточности.

Известно, что монотонная избыточная система, состоящая из независимых элементов, имеет S-образную зависимость между ее безотказностью и безотказностью ее наихудшего элемента p (Рисунок 11.18).

Рисунок 11.18 – S – образная функция.

Существует такой уровень безотказности наихудшего элемента системы, при котором безотказность всей системы оказывается выше , то есть , при .

Для любой такой системы функция пересекает диагональ (функцию ) один раз при .

Изложенное является логическим обоснованием способа создания избыточности систем – резервирования, изложенного ниже.

При создании и в процессе эксплуатации систем широко распространен способ повышения их безотказности за счет введения в их конструкции дополнительных элементов, которые могут работать параллельно с основными элементами или подключаться на место отказавшего элемента. Таким образом, резервированной системой называется такая система, в которой отказ наступает только после отказа любого основного элемента и всех его резервных элементов.

Классификация способов резервирования показаны на рисунке 11.19.

Рисунок 11.19 – Способы резервирования.

При общем резервировании основной объект (система) резервируется в целом, а при раздельном – резервируются отдельные части (элементы) системы. Под кратностью резервирования «m» понимается отношение числа резервных элементов к числу основных.

При резервировании с целой кратностью величина m есть целое число (например, если m = 2, то на один основной элемент приходится два резервных). При резервировании с дробной кратностью показателем является дробное несокращаемое число. Например, при m=4/2, резервных элементов 4, основных 2, общее число элементов 6. Сокращать дробь нельзя, так как новое отношение может отражать другой конструктивный или физический смысл.

По способу включения резервирование разделяется на постоянное и резервирование замещением. При постоянном резервировании резервные элементы подключены к нагрузке постоянно в течение всего времени работы и находятся в одинаковых с основными элементами условиях. При резервировании замещением элементы, замещающие основные, подключаются к нагрузке после отказа основных элементов.

Резервирование замещением может быть нагруженным, облегченным и ненагруженным. Достоинством резервирования замещением с ненагруженным резервом является то, что работоспособность резервных элементов сохраняется более длительное время, так как до момента включения они находятся в нерабочем состоянии.

Достоинством постоянного резервирования является его простота, так как в этом случае не требуется никаких переключающих устройств и устройств, отслеживающих процесс снижения работоспособности и сигнализирующих о наступлении отказа.

Систему с общим резервированием с постоянно включенным резервом с целой кратностью отражает схема, изображенная на рисунке 11.20. Здесь параллельно основной цепи включено «m» резервных цепей, имеющих такие же параметры элементов, как и в основной цепи.

Рисунок 11.20 – Схема с общим нагруженным резервированием (количество резервных цепей ).

Анализ приведенной схемы резервирования выполним при следующих допущениях:

отказы элементов являются случайными и независимыми событиями;

переключающие устройства идеальны (их безотказность P(t)=1, а основная и резервные цепи равнонадёжны);

ремонт резервированной системы исключен.

Исходя из принятых допущений для основной и резервных цепей, определим вероятность безотказной работы по формуле (11.38):

, (11.38)

где - вероятность безотказной работы i-го элемента основной «0» цепи;

- вероятность безотказной работы i-го элемента j-ой цепи.

Поскольку все одноименные элементы в каждой цепи имеют одинаковые параметры и находятся в одинаковых условиях, то их безотказность в одно и тоже время t одинакова. Следовательно, для всей цепи:

(11.39)

Соответственно вероятность отказов анализируемых цепей:

(11.40)

отказ системы наступит, если откажет основная цепь и все резервные. Математически это состояние отражается зависимостью:

, (11.41)

где - вероятность отказа основной цепи.

Поскольку все цепи идентичны и находятся в одинаковых условиях, то , а вероятность отказа системы рассчитывается по формуле (11.42):

(11.42)

Используя зависимость (11.43), запишем:

(11.43)

(11.44)

Резервированная система может находиться в одном из двух полярных состояний – работоспособном, когда хотя бы одна из цепей работоспособна, и неработоспособном, когда отказали все m+1 цепи, т.е. .

В результате получаем, что вероятность безотказной работы системы с количеством цепей m+1 равна (11.45):

(11.45)

В случае простейшего потока отказов в каждой из цепей ():

(11.46)

Здесь

Тогда вместо выражения (11.46) запишем в виде (11.47):

, (11.47)

где - вероятность безотказной работы основной цепи.

Средняя наработка до отказа резервированной системы:

(11.48)

Выполнив преобразования, получим:

; (11.49)

Интенсивность отказов системы определяется по зависимости (11.50):

(11.50)

Для более наглядного представления выигрыша по критерию безотказности системы при использовании общего нагруженного резервирования с целой кратностью построим график зависимости (Рисунок 11.21).

Из рисунка 11.21 видно, что, если имеет малое значение, например, , то и при m>2 просматривается существенное приращение безотказности.

Рисунок 11.21 – Повышение вероятности безотказной работы системы при включении m резервных цепей.

Однако, с увеличением безотказности основной цепи , эффективность применения нескольких резервных ветвей снижается. Если безотказность основной цепи , то заметен существенный прирост при включении только одной резервной цепи.

Способ нагруженного дублирования (Рисунок 11.22) является частным случаем общего нагруженного резервирования с целой кратностью, m=1, то есть на одну основную цепь приходится одна резервная цепь, находящаяся под нагрузкой.

Рисунок 11.22 – Расчетная схема нагруженного дублирования (l₀ =l₁=const).

Используя зависимость (11.46), определим вероятность безотказной работы системы по формуле (11.51):

, (11.51)

где - вероятность безотказной работы основной цепи ().

Используя зависимость (11.47), определим среднюю наработку до отказа системы по формуле (11.52):

(11.52)

Подставив в выражение (11.47) исходное выражение (11.51) и его производную, получим выражение (11.53):

(11.53)

Для построения графика (Рисунок 11.23) определим предельные значения этой функции:

;

.

Рисунок 11.23 - Интенсивность отказов системы, работающей в режиме нагруженного дублирования

Из рисунка 11.23 видно, что интенсивность отказов системы со временем возрастает. Это говорит о том, что при большом t вероятность отказа одной из цепей высока, и система может перейти в режим работы с одним элементом . Отметим также начальный этап, на котором система имеет очень высокий уровень безотказности.

Дата добавления: 2015-06-27