Раскладывание пилообразных импульсов напряжения

Разложить функцию

в промежутке (0, 2π).

Используем тригонометрический ряд:

Определим коэфиценты этого ряда.Будем предполагать функцию f(x) интегрируемой в промежутке [-π,π] в собственном или в несобственном смысле; в последнем случае мы дополнительно будем предполагать, что функция абсолютно интегрируема. Допустим, что разложение имеет место, и проинтегрируем его почленно от -π до π; мы получим

Причем,

Поэтому все члены под знаком суммы будут нулями, и окончательно найдем

Для того чтобы установить величину коэффициента а_т, умножим обе части тригонометрического ряда, которое мы все время предполагаем выполненным, на cos(тх) и снова проинтегрируем почленно в том же промежутке:

Первый член справа исчезает (см. выше). Далее имеем

Таким образом, обращаются в нуль все интегралы под знаком суммы, кроме интеграла, при котором множителем стоит именно коэффициент а_т. Отсюда этот коэффициент и определяется:

Аналогично, умножая предварительно разложение (5) на sin тх и затем интегрируя почленно, определим коэффициент при синусе:

При этом мы опираемся еще на легко проверяемые соотношения:

Таким образом, мы приходим к разложению, содержащему одни лишь синусы:

При x=0 (или 2π) сумма ряда равна нулю, и равенство нарушается. Не будет равенства и вне указанного промежутка. График суммы ряда S(x) состоит из бесчисленного множества параллельных отрезков и ряда отдельных точек на оси х.

Дата добавления: 2015-06-27