Пример 5. Неравенство Рао – Крамера и эффективность оценок

Следствие.

Определение

Неравенство Рао – Крамера и эффективность оценок

Оценка называется эффективной в классе несмещенных оценок, если ее дисперсия меньше (не больше) дисперсий всех других оценок в этом классе. То есть для любой , для любого

Сформулируем очевидное следствие из неравенства Рао – Крамера.

Если семейство распределений удовлетворяет условиям неравенства Рао-Крамера, и оценка такова, что в неравенстве Рао – Крамера достигается равенство:

то оценка эффективна в классе несмещенных оценок.

.

Пусть , , – выборка объема из нормального распределения , где , . Проверим, является ли оценка эффективной.

Найдем информацию Фишера относительно параметра (считая, что имеется один неизвестный параметр – ).

Тогда

Итак, . Найдем дисперсию оценки .

Далее, сравнивая левую и правую части в неравенстве Рао – Крамера, получаем равенство:

То есть оценка эффективна (обладает наименьшей дисперсией среди несмещенных оценок).

Дата добавления: 2015-06-27