Интегральный признак Коши

Радикальный признак Коши

Рассмотрим ряд с неотрицательными членами

. (1.37)

Теорема (радикальный признак Коши)

Если для ряда (1.39) c неотрицательными членами существует конечный предел то:

при l < 1 ряд сходится,

при l > 1 ряд расходится;

при l =1 ряд может оказаться как сходящимся, так и расходящимся, т.е. признак неприменим.

Доказательство аналогично доказательству теоремы Д'Аламбера.

Замечание. Радикальный признак Коши эффективен, если общий член ряда имеет вид , т.е. является какой-либо функцией от номера п, возведенной в степень п.

Пример. Исследовать сходимость ряда .

- ряд сходится.

Теорема (интегральный признак Коши).

Пусть дан ряд

(1.38)

с положительными и монотонно убывающими членами, т.е.

, .

Пусть члены этого ряда являются значениями некоторой положительной, непрерывной и убывающей на полуинтервале функции при натуральных значениях аргумента:

Тогда если сходится несобственный интеграл:

, (1.39)

то сходится и ряд (1.38)(См. рис.1.11.1).

Пример 1. .

В качестве функции возьмем

Это легко сделать, заменив п на х. Тогда

.

Составим несобственный интеграл:

,

следовательно, ряд сходится.

Пример 2. Исследовать на сходимость гармонический ряд:

.

1) Исследуем на сходимость по признаку Даламбера: ,

т.е. о сходимости ряда по признаку Даламбера ничего сказать нельзя.

2) Применим более сильный признак сходимости - интегральный признак Коши. В качестве функции возьмем , тогда .

,

гармонический ряд расходится.

Замечание. Иногда приходится брать интеграл не от 1, а от других чисел, например, от 2.

Дата добавления: 2015-06-27