Элементы корреляционного анализа

Вариант №18

Дано: Результаты исследований зависимости между случайными величинами X и Y представлены в виде таблицы 8:

Таблица №8

Y	X
30	35	40	45	50	55	ny
45	4	2					6
55		5	3				8
65			5	45	5		55
75			7	8	2		17
85				4	3	7	14
nx	4	7	15	57	10	7

Произвести корреляционный анализ зависимости Y от X, для чего:
Построить корреляционное поле;

1. Найти выборочный коэффициент корреляции ;

2. Получить доверительный интервал r_xy для с надежностью γ;

3. Найти выборочное уравнение прямой регрессии Y на X;

4. В выбранной системе координат построить точки (x_i, y_i) и выборочное уравнение регрессии Y на X.

§1. Корреляционная таблица и корреляционное поле

Представим данные корреляционной таблицы в виде корреляционного поля. Для этого в выбранной системе координат изобразим точки (x_i, y_j) и рядом с каждой точкой укажем, если это позволит масштаб, соответствующую частоту n_xy. По расположению точек можно сделать предположение о наличии (или отсутствии) линейной корреляционной зависимости между обследуемыми признаками X и Y.

Для данных таблицы 8 корреляционное поле имеет вид:

Расположение точек говорит о наличии положительной корреляции между признаками X и Y.

§2. Нахождение выборочного коэффициента корреляции

Вычисления можно значительно упростить, если перейти от истинных вариант x_i, y_j к условным u_i, v_j соответственно, а именно:

C1 = 45 h1 = 5 u1 = -3 u2 = -2 u3 = -1 u4 = 0 u5 = 1 u6 = 2	C2 = 65 h2 = 10 v1 = -1 v2 = 0 v3 = 1 v4 = 2

Формула для вычисления эмпирического коэффициента корреляции в условных вариантах имеет вид:

Для нахождения составим расчетную таблицу 9.

Таблица №9

xi	ui	ni	niui	niui ^2	(ui + 1)	(ui + 1)^2	ni (ui + 1)^2
30	-3	4	-12	36	-2	4	16
35	-2	7	-14	28	-1	1	7
40	-1	15	-15	15	0	0	0
45	0	57	0	0	1	1	57
50	1	10	10	10	2	4	40
55	2	7	14	28	3	9	63
		100	-17	117			183

Контроль

_,

то есть вычисления верны

Так как , то

Аналогичные вычисления проводим для v в таблице 10.

Таблица №10

yj	vj	nj	njvj	njvj ^2	(vj + 1)	(vj + 1)^2	nj (vj + 1)^2
45	-2	6	-12	24	-1	1	6
55	-1	8	-8	8	0	0	0
65	0	55	0	0	1	1	55
75	1	17	17	17	2	4	68
85	2	4	28	56	3	9	126
		100	25	105			255

uivj	-3	-2	-1	0	1	2
-3			-12			-4													-16	48
	4			2
-12			-6
-2						-10			-3										-13	26
				5			3
			-10			-6
-1						-			-5			0			5				0	0
							5			45			5
						-5			-45			-5
0									-7			0			2			0	-5	0
							7			8			2
						0			0			0
1												0			3				17	17
										4			3
									4			3
	-12	-16	-11	-41	-2	7
	36	32	11	0	-2	14		контроль

Контроль вычислений производим по формуле:

вычисления верны.

Для вычисления требуется еще найти . Для ее нахождения составим корреляционную таблицу 11 в условных вариантах.

Подставив найденные значения в формулу (*), получим

Таблица №11

§3. Нахождение доверительного интервала
для генерального коэффициента корреляции

Задана надежность γ = 0,99. Доверительный интервал для генерального коэффициента корреляции r_xy имеет вид:

Следовательно с вероятностью 0,99 доверительный интервал имеет вид:

§4. Нахождение выборочного уравнения прямой регрессии Y на X и построение ее графика

Общий вид уравнения прямой линии регрессии Y на X имеет вид:

Полученное уравнение регрессии показывает, как в среднем изменяется значение признака Y в зависимости от изменения признака Х.
В выбранной системе координат строим прямую и точки (x_i, y_i) корреляционного поля.

Таблица для построения графика

30	35	40	45	50	55
43,877	52,225	60,572	68,919	77,266	85,613

ВЫВОД: Построив корреляционное поле мы убеждаемся, что расположение точек говорит о наличии положительной корреляции между Х и Y. По расположению точек можно судить о линейной зависимости между Х и Y.

Заключение

В проделанной курсовой работе была предоставлена возможность проверить гипотезу Пирсона, опираясь на полученные результаты, я могу утверждать, что эмпирические и теоретические частоты различаются незначительно. Так же был проведен корреляционный анализ, была выявлена сильная линейная зависимость между величинами X и Y

Список использованной литературы

1. Гмурман В.Е. «Теория вероятностей математической статистики» – М.: Высшая школа, 1999 г.

2. «Пособие и методические указания к выполнению курсовой работы» – Калининград: 1998 г.

Дата добавления: 2015-06-27