Типовые задачи и методические указания по их решению

З а д а ч а 1. Определить натуральную длину отрезка АВ(А₁В₁; А₂В₂) и углы его наклона к плоскостям проекций (рис.1, рис.2).

Рис. 1 Рис. 2

Р е ш е н и е. Строим прямоугольный треугольник по двум катетам (см. рис.1). За один катет принимаем фронтальную проекцию А₂В₂ отрезка АВ, за другой катет – отрезок, равный разности расстояний концов отрезка до плоскости П₂. В₀В₂ = А₁А₁ ^/. Угол β - угол наклона АВ к плоскости проекций П₂.

Можно найти длину отрезка АВ, строя прямоугольный треугольник не на фронтальной проекции А₂В₂, а на горизонтальной проекции А₁В₁ (рис.2). Тогда вторым катетом будет разность расстояний концов отрезка до плоскости П₁. В₁В₀ = В₂В₂ ^/. Угол α - угол наклона отрезка АВ к плоскости проекций П₁.

З а д а ч а 2. На прямой l(l₁, l₂) от точки А(А₁, А₂) отложить отрезок длиной 30 мм (рис.3).

Р е ш е н и е. Выделяем на прямой l произвольный отрезок АМ и определяем его натуральную длину. Для этого строим прямоугольный треугольник по двум катетам А₁М₁ и М₁М₀ = М₂М₂^/.

На гипотенузе А₁М₀ построенного треугольника откладываем отрезок А₁С₀ = 30 мм. Опустив из точки С₀ перпендикуляр на горизонтальную проекцию прямой, получаем горизонтальную проекцию А₁С₁, а по ней и фронтальную А₂С₂ проекции искомого отрезка.

Рис. 3

З а д а ч а 3. Через прямую l (l₁, l₂) (рис.11а) провести фронтально проецирующую плоскость ∆ (рис.4).

Рис. 4

Р е ш е н и е. Признаком принадлежности прямой l фронтально проецирующей плоскости является принадлежность (совпадение) фронтальной проекции l₂, прямой l с фронтальной проекцией ∆₂ плоскости ∆,

т.е. если l Ì ∆ Û l₂ ≡ ∆₂ (рис.4б).

З а д а ч а 4. Построить проекции линии пересечения двух плоскостей Г(АВС) и ∆ (∆ ₂ ) (рис.5а).

Рис. 5

Р е ш е н и е. Плоскость ∆ (∆ ₂) – фронтально проецирующая. Фронтальная проекция плоскости ∆ обладает собирательным свойством, поэтому фронтальная проекция N₂M₂ искомой линии пересечения совпадает с ∆ ₂. Пользуясь условием, что искомая прямая MN принадлежит и плоскости Г (АВС), находим по фронтальной проекции её горизонтальную проекцию M₁N₁ (рис.5б).

З а д а ч а 5. Построить проекции точки пересечения прямой l (l₁, l₂) с плоскостью Г(АВС). Определить видимость прямой l (l₁, l₂) относительно плоскости Г (рис.6а).

Р е ш е н и е. Для решения задачи следует последовательно выполнить следующие три операции (рис.6б).

1-я операция. Через прямую l провести фронтально проецирующую плоскость ∆ (∆ ₂) (см. задачу 3).

2-я операция. Построить проекции линии пересечения обеих плоскостей – данной Г и вспомогательной ∆, т.е. MN (M₁N₁; M₂N₂) (см. задачу 4).

3-я операция. В пересечении проекций данной прямой l и построенной MN отметить проекции (К₁, К₂) искомой точки.

Рис. 6

Найдя точку пересечения, перейти к определению видимости прямой l.

Для определения видимости прямой l на горизонтальной проекции (вид сверху) рассматриваем две горизонтально конкурирующие точки 1 Î АВ и 2 Î l (1₁ ≡ 2₁). По фронтальной проекции видим, что точка 1 лежит по отношению к плоскости П₁ выше, чем точка 2. Это значит, что сверху видимой является точка 1, а точка 2 закрыта ею. Следовательно, на виде сверху отрезок прямой l, на котором лежит точка 2, является невидимым. На фронтальной проекции видимость можно определить, например, при помощи фронтально конкурирующих точек N Î ВС и 3 Î l. Сравниваем расстояние их по отношению к плоскости П₂. Сравнение показывает, что точка 3 прямой l, а следовательно, отрезок 3К, спереди не виден.

З а д а ч а 6. В плоскости Г (l ∩ m) провести горизонталь h (h₁, h₂) и фронталь f (f₁; f₂) (рис.7а).

Рис. 7

Р е ш е н и е. Известно, что фронтальная проекция h₂ горизонтали h всегда параллельна оси XO. Поэтому построение горизонтали начинаем с проведения h₂ ∥ XO (рис.7б). Горизонтальную проекцию находим из условия принадлежности горизонтали h плоскости Г. Фронтальная проекция горизонтали пересекает фронтальные проекции данных прямых l₂ и m₂ в точках 1₂ и 2₂, которым соответствуют горизонтальные проекции 1₁ и 2₁. Через них и пройдет горизонтальная проекция h₁ искомой горизонтали h. На (рис.7б) в плоскости Г построена и фронталь f (f₁; f₂). Это построение выполнено аналогично построению горизонтали.

З а д а ч а 7. Даны плоскость Г (l ‌ || ‌ m) и точка D(D₁; D₂).

Опустить перпендикуляр из точки на эту плоскость (рис.8).

Известно, что если прямая перпендикулярна плоскости, необходимо, чтобы горизонтальная проекция прямой была перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция – фронтальной проекции фронтали плоскости.

Р е ш е н и е. Проводим горизонталь h (h₁; h₂) и фронталь f (f₁; f₂) (см. задачу 6). Затем проводим проекции перпендикуляра: горизонтальную n₁ – через D₁ перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали h₁, и фронтальную n₂ – через D₂ перпендикулярно проекции фронтали f₂.

Рис. 8

З а д а ч а 8. Из произвольной точки плоскости Г (l ∩ m) восстановить перпендикуляр (нормаль) к плоскости (рис.9а).

Р е ш е н и е. Признаки перпендикулярности прямой и плоскости позволяют строить на чертеже проекции нормали к плоскости. На рис.16б дано построение нормали n (n₁; n₂) в точке К (К₁; К₂) к плоскости Г (l ∩ m). Проекции нормали перпендикулярны соответствующим проекциям линий уровня плоскости Г.

Рис. 9

З а д а ч а 9. Даны плоскость Г (l ∩ m) и точка D; требуется определить расстояние от точки D до плоскости, заданной двумя пересекающимися прямыми l и m (рис. 10).

Рис. 10

Порядок решения задачи:

1. Опустить перпендикуляр из точки D на плоскость Г (l ∩ m) (см. задачу 7).

2. Определить точку пересечения перпендикуляра с плоскостью и отделить видимый участок перпендикуляра от невидимого, считая плоскость непрозрачной (см. задачу 5).

3. Определить натуральную величину расстояния от точки D до плоскости Г (см. задачу 1).

З а д а ч а 10. Дана точка К(К₁;К₂) и плоскость Г (АВС) провести через точку К плоскость, параллельную заданной плоскости Г (рис. 11).

Построение эпюра параллельных плоскостей основано на известном из стереометрии признаке: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Рис. 11

Р е ш е н и е. Проводим через точку К(К₁;К₂) прямые l (l₁, l₂) и m (m₁; m₂), параллельно сторонам АВ(А₁ В₁,А₂ В₂) и АС(АС₁,АС₂). Плоскости Г и Ʃ параллельны, т.к. их пересекающиеся прямые удовлетворяют условию: l ∥ АВ и m ∥ АС.

З а д а ч а 11. Построить плоскость ∆, параллельную плоскости Г (АВС) и отстоящую от неё на расстоянии 40 мм (рис. 12).

План решения задачи:

1. Из произвольной точки С (С₁;С₂) заданной плоскости восстановить перпендикуляр к ней и ограничить его точкой N(N₁;N₂) (см. задачу 8).

2. Определить натуральную величину отрезка перпендикуляра по его проекции C₁N₁ и C₂N₂ (см. задачу 1).

Рис. 12

3. На действительной величине отрезка перпендикуляра найти точку М₀ на заданном расстоянии, считая от плоскости, и построить проекции этой точки М(М₁;М₂) на проекциях перпендикуляра (см. задачу 2).

4. Задать искомую плоскость, соблюдая условие параллельности плоскостей (см. задачу 10).

З а д а ч а 12. Через прямую l (l₁,l₂) провести плоскость ∆, перпендикулярную к плоскости Г (m ∩ n) (рис.13).

Р е ш е н и е. Если плоскость содержит в себе перпендикуляр к другой плоскости, то эти плоскости взаимно перпендикулярны. Чтобы провести через прямую l (l₁, l₂) искомую плоскость, надо из какой-либо точки прямой, например, А(А₁;А₂), провести перпендикуляр к данной плоскости.

Строим проекции горизонтали h(h₁;h₂) и фронтали f(f₁;f₂) плоскости Г(n ∩ m). Затем, проведя А₁В₁ ^ h₁ и А₂В₂ ^ f₂ , получим проекции перпендикуляра к

Рис. 13

плоскости Г. Этот перпендикуляр АВ (А₁В₁; А₂В₂) совместно с данной прямой l (l₁, l₂) определяют искомую плоскость Δ (l ∩ АВ).

З а д а ч а 13. Построить линию пересечения двух плоскостей Г(АВС) и ∆(DEF) и отделить видимые их части от невидимых (рис.14).

Рис. 14

Р е ш е н и е. Первая часть задачи сводится к построению линии пересечения двух плоскостей.

Известно, что линией пересечения двух плоскостей является прямая линия, для построения которой достаточно определить две точки, общие обеим плоскостям. В данном случае общие точки для обеих плоскостей найдены как точки пересечения: М – стороны DE треугольника DEF с плоскостью Г(АВС); N – стороны ВС треугольника АВС с плоскостью ∆(DEF). Точка М определена с помощью вспомогательной фронтально проецирующей плоскости θ(θ₂), точка N – посредством горизонтально проецирующей плоскости Σ(Σ₁) проведенных через DE и BC соответственно.

Линия пересечения плоскостей ограничена отрезком MN прямой, заключённым между точками встречи контура одной фигуры с ограниченной плоскостью другой.

Найдя линию пересечения, переходим к отделению видимых участков пластинок от невидимых, начав с горизонтальной проекции (вид а сверху). С этой целью рассмотрим две горизонтально конкурирующие точки 5 Î АВ и 6 Î DE. Сравнивая расстояния фронтальных проекций этих точек по отношению к плоскости П₁. замечаем, что точка 6 пластинки DEF, а следовательно, и участок стороны DE, находится под плоскостью пластинки АВС. В точке М происходит переход невидимого участка прямой DE к видимому.

Аналогичными рассуждениями при помощи фронтально конкурирующих точек 1 Î АВ и 7 Î DE определяем видимость на фронтальной проекции.

З а д а ч а 14. Дана точка А(А₁;А₂). Найти её проекции в системе П₁/П₄

(рис.15а).

На рис. 15 показаны те построения, которые надо произвести на эпюре, чтобы от проекций точки А(А₁;А₂) в системе П₁/П₂ перейти к проекциям (А₁;А₄) той же точки в системе П₁/П_4..

1.Опускаем из А₁ перпендикуляр на новую ось проекций П₁/П₄. На построенном перпендикуляре откладываем (от новой оси) отрезок А₄А_х'=А₂А_х.

Полученная таким образом точка А₄ является проекцией точки А(А₁;А₂) на новую плоскость проекции П₄.

З а д а ч а 15. Дана точка А(А₁;А₂) найти её проекции в системе П₂/П₄

(рис.15б).

На рис.15б показаны те построения, которые надо произвести на эпюре, чтобы от проекции (А₁;А₂) точки А в системе П₁/П₂ перейти к проекциям (А₂; А₄) той же точки в системе П₂/П ₄ .

Рис. 15

Для построения на эпюре новой проекции точки при замене одной из плоскостей проекций надо опустить перпендикуляр на новую ось из той же проекции точки, которая не меняется, и отложить на нем от новой оси в соответствующую сторону расстояние от заменяемой проекции до старой оси.

З а д а ч а 16. Преобразовать горизонтально проецирующую плоскость Г(АВСD) в плоскость уровня (рис.16).

Р е ш е н и е. Плоскость Г – горизонтально проецирующая. Для преобразования ее в плоскость уровня достаточно взамен плоскости проекции П₂ ввести новую плоскость П₄, параллельную плоскости Г(АВСD). Линию пересечения плоскостей П₁ и П₄ принимаем за новую ось проекций X₁.

новая ось X₁ параллельна вырожденной проекции Г₁ плоскости Г, т.к. плоскость П₄ параллельна данной плоскости Г. Построив проекции точек А, В, С и D в новой системе П₁ П₄ и соединив их, получим проекцию четырехугольника А₄В₄С₄D₄, отображающего свои натуральные размеры.

Рис. 16

З а д а ч а 17. По данной фронтальной проекции К₂ точки К построить горизонтальную проекцию К₁, исходя из условия, что точка К принадлежит грани SАС (рис.17).

Построение точки на поверхности выполняется как построение точки на плоскости грани.

Р е ш е н и е. На грани SАС при помощи прямой 1–2 (1₁2₁; 1₂2₂) по данной фронтальной проекции К₂ точки К построена горизонтальная проекция К₁, исходя из условия, что точка К должна лежать в грани SАС.

На рис.18 показано построение К₁ на грани SВС при помощи прямой, проведенной через вершину S пирамиды.

Рис. 17 Рис. 18

З а д а ч а 18. Задать на поверхности конуса произвольную точку А (рис.19).

Рис. 19

Р е ш е н и е.

1-й способ (рис.19а). На основании конуса задаем произвольную точку К(К₁, К₂) и проводим вспомогательную образующую через точки S и К. На этой образующей берем точку А, которая и лежит на заданной поверхности.

2-й способ (рис.19б). На поверхности конуса проводим вспомогательную параллель; ее фронтальная проекция является отрезком прямой, параллельным оси проекций XO, а горизонтальная проекция – окружностью. На этой параллели берем точку А, которая и лежит на поверхности.

З а д а ч а 19. Построить горизонтальную проекцию линии на поверхности конуса по заданной фронтальной проекции (рис.20).

Р е ш е н и е. Построение горизонтальной проекции заданной линии начинаем с того, что отмечаем точки, принадлежащие очерковым образующим. Эти точки называют характерными.

Точка 3 принадлежит передней образующей, 8 – задней, 2 – правой, 1 – левой и точка 10 – основанию конуса. Между этими точками отмечают так называемые случайные точки, помогающие установить характер линии. Точки 4, 5, 6, 7 и 9 – случайные.

Горизонтальные проекции всех отмеченных точек находим из условия принадлежности их конусу (см. задачу 16).

Рис. 20

При соединении точек следует учитывать их видимость. В нашем примере все точки сверху видимы, поэтому и линия, соединяющая их, видима сверху.

З а д а ч а 20. Построить проекции линии пересечения пирамиды SАВСD с проецирующей плоскостью Г(Г₂) (рис.21).

Известно, что любая поверхность пересекается плоскостью по некоторой линии, точки которой принадлежат как поверхности, так и пересекающей плоскости. Общим приемом построения проекций линии пересечения поверхности плоскостью является построение отдельных точек, принадлежащих этой линии, с последующим соединением их в определенной последовательности. Линия пересечения поверхности любого многогранника плоскостью будет ломаная линия, которая Рис. 21 состоит из отрезков прямых, являющихся линиями пересечения отдельных граней рассматриваемого многогранника с указанной плоскостью. Характерными точками этой линии будут ее вершины, расположенные на ребрах многогранника. В нашем примере пирамида пересекается фронтально проецирующей плоскостью Г(Г₂) ⊥ П₂; это значит, что фронтальная проекция искомой линии пересечения 1₂,2_2,3₂,4₂ непосредственно задана на чертеже и совпадает с фронтальной проекцией всей плоскости Г₂.

При помощи линии связи находим горизонтальные проекции 1₁2₁3₁ и 4₁ сечения. Натуральная величина сечения определена способом замены плоскостей проекций (см. задачу 14). За новую горизонтальную плоскость проекций взята сама плоскость Г. Новой осью проекций является Г₂.

З а д а ч а 21. Построить в прямоугольной изометрии сечение пирамиды фронтально проецирующей плоскостью. Пирамида задана своими ортогональными проекциями (рис.22).

Рис. 22

Р е ш е н и е. Через точку О₁ проводим прямые x, y, z, которые принимаем за оси натуральной системы координат (рис.29а).

Вычерчиваем аксонометрические оси координат с углами в 120⁰ между ними (рис.22б). По координатам, определенным непосредственным измерением ортогонального чертежа, строим аксонометрическую и вторичную горизонтальную проекции пирамиды. В нашем примере основание пирамиды АВСDЕ лежит на плоскости XOY, поэтому ее вторичная проекция совпадает с аксонометрической проекцией и обозначена А^/ В^/ С^/ D^/ E^/. Далее по координатам X и Y вершин сечения строим вторичную горизонтальную проекцию сечения 1₁^/, 2₁^/, 3₁^/, 4₁^/, 5₁^/. Затем из точек 1₁ ^/, 2₁^/, 3₁^/, 4₁^/, 5₁^/ проводим проецирующие прямые, параллельные оси z^/, до пересечения с соответствующими ребрами пирамиды в точках 1^/ , 2^/, 3^/, 4^/, 5^/. Соединяя найденные точки, получим фигуру сечения пирамиды фронтально-проецирующей плоскостью.

Для решения задачи на построение линии пересечения двух фигур, одна из которых занимает проецирующее положение, достаточно выделить на чертеже уже имеющуюся проекцию линии пересечения, которая совпадает с вырожденной проекцией проецирующей фигуры.

Вторую проекцию линии пересечения надо построить, исходя из условия ее принадлежности фигуре, занимающей общее положение.

Для решения этой задачи необходимо знать решение задач 18, 19, 20, а также нижеследующие задачи.

З а д а ч а 22. Построить горизонтальную проекцию плоской линии, принадлежащей поверхности конуса (рис.23).

Определяем плоскую кривую. Так как плоскость, в которой находится кривая, параллельна образующей конуса, то кривая – п а р а б о л а. Строим характерные точки А, М, N, - они находятся на известных линиях поверхности.

Рис. 23

Случайные точки 1, 2, 3, 4 строим с помощью параллелей конуса (см. задачу 18).

З а д а ч а 23. Построить фронтальную проекцию плоской линии, принадлежащей поверхности конуса (рис.24).

Кривая – гипербола, т.к. расположена в плоскости, параллельной двум образующим конуса.

Строим характерные точки: А (вершина гиперболы); N, M – конечные точки гиперболы; Т – точка видимости фронтальной проекции линии.

Случайные точки строим с помощью параллелей конуса.

Рис. 24 Рис. 25

З а д а ч а 24. Построить фронтальную проекцию плоской линии, принадлежащей поверхности сферы (рис.25).

Кривая – о к р у ж н о с т ь, которая проецируется на фронтальную плоскость проекций в эллипс, т.к. плоскость окружности наклонена к П₂. Характерные точки кривой - А, В и С, D (определяющие большую и малую оси эллипса), а также К и Т - точки видимости. Случайные точки - 1, 2. Фронтальную проекцию точек строим с помощью окружностей, параллельных фронтальной плоскости.

З а д а ч а 25. Построить горизонтальную проекцию линии, принадлежащей поверхности пирамиды (рис.26).

Характерные точки К, Т, N, D, принадлежащие ребрам пирамиды, и М, R – крайняя левая и самая низкая.

Рис. 26 Рис. 27

Горизонтальные проекции точек определяем с помощью прямых, параллельных основанию пирамиды.

З а д а ч а 26. Построить пересечение конуса и призмы (рис.27).

Призма занимает проецирующее положение по отношению к фронтальной плоскости проекций, поэтому фронтальная проекция искомой линии пересечения совпадает с вырожденной проекцией призмы в пределах очерка конуса.

Линия пересечения будет состоять из части эллипса и части окружности радиуса R.

Характерными точками будут А, С, D и M, N для эллипса и

M, N, K для окружности;

CD – малая ось эллипса;

M, N – точки излома;

K – крайняя правая точка окружности, определяющая радиус окружности R. Случайные точки – 1, 2, 3, 4. Горизонтальные проекции точек определяем с помощью параллелей конуса.

Определяем видимость кривой, учитывая, что проекция линии пересечения видима, если она принадлежит видимой части одной и второй поверхности.

З а д а ч а 27. Построить развертку пирамиды SABC (рис.28).

Гранями пирамиды являются треугольники, для построения которых достаточно определить натуральные длины их сторон – ребер пирамиды.

Рис. 28

Основание пирамиды параллельно плоскости П₁, поэтому подлежат определению только натуральные величины боковых ребер пирамиды. Строим развертку боковой поверхности пирамиды, используя натуральные величины ребер. Для этого по трем сторонам строим контур одной грани, к ней пристраиваем следующую и т.д.

З а д а ч а 28. Построить на развертке цилиндра линию, принадлежащую поверхности цилиндра (рис.29).

Строим развертку цилиндра – прямоугольник, у которого одна сторона – высота цилиндра, другая – длина окружности основания.

Выделяем образующие на поверхности цилиндра и наносим их на развертку.

Строим точки, лежащие на образующих и принадлежащие кривой.

Рис. 29

З а д а ч а 29. Построить точки пересечения прямой с поверхностью (рис. 30): а) поверхность коническая; б) поверхность сферическая.

Через прямую проводим секущую плоскость так, чтобы она пересекла конус или сферу по окружности. Точки пересечения прямой и линии сечения К и Т являются точками пересечения прямой с поверхностью.

Рис. 30

З а д а ч а 30. Построить пересечение двух поверхностей (рис.31).

Для решения задачи такого типа применяется метод секущих плоскостей. Секущие плоскости – посредники выбираются так, чтобы при пересечении с каждой из поверхностей образовывались удобные для построения линии (прямые или окружности).

В данном примере в качестве посредников выбираем горизонтальные плоскости, которые рассекают тор и сферу по окружностям.

Строим характерные точки А, В, К, Т. Для

определения К и Т используем плоскость –

Рис. 31 посредник Г.

Случайные точки определяем с помощью плоскостей Σ, Δ. Определяем видимость кривой пересечения, учитывая, что на горизонтальной проекции видима только верхняя половина сферы.

З а д а ч а 31. Построить пересечение соосных поверхностей вращения цилиндра и сферы, конуса и сферы (рис. 32).

Рис. 32

Соосные поверхности пересекаются по общим параллелям (окружностям), плоскости которых, как известно, перпендикулярны осям вращения.

Определяем характерные точки А, В как точки пересечения очерков.

Строим линии пересечения поверхностей.

З а д а ч а 32. Построить пересечение двух поверхностей вращения, оси которых пересекаются в точке О (рис.33). Используем секущие сферы, центры которых находятся в точке О.

Каждая сфера-посредник соосна с обоими пересекающимися цилиндрами. Линии пересечения сферы и цилиндра пересекаются между собой и определяют точки, принадлежащие линии пересечения двух цилиндров. Для определения радиусов максимальной и минимальной секущих сфер решаем следующие задачи.

R_max есть величина, равная расстоянию от О₂ до самой далекой характерной точки А₂. Для определения R_min вписываем сферы в каждую из пересекающихся поверхностей R₁ и R₂. Минимальным радиусом секущей сферы (R_min) будет больший из двух радиусов вписанных сфер - R₂ = R_min.

Рис. 33

учебно-методическая литература

Дата добавления: 2015-06-28