Примеры решения задач. Для плоского сечения (плоской фигуры), ог­раничен­ного параболой и прямыми линиями y=0 и x=a (рис

Задача 1

Для плоского сечения (плоской фигуры), ог­раничен­ного параболой и прямыми линиями y=0 и x=a (рис. 1.5), найти площадь, ста­тические моменты, ко­ординаты центра тяжести, осевые и цен­тробежный моменты. 1. Вычисляем площадь фигуры.    

Рис. 1.5

2. Вычисляем статические моменты фигуры относительно осей OX и OY:

3. Находим координаты центра тяжести O_C фигуры:

Положение центра тяжести O_C показано на рис. 1.5.

4. Вычислим осевые и центробежные моменты инерции фигуры относительно осей OX и OY.

5. Вычислим моменты инерции относительно центральных осей O_c X_c и O_c Y_c, параллельных осям OX и OY.

Для этого используем формулы (1.17) параллельного переноса

Задача 2

	Для плоской фигуры ограни­ченной параболой и прямыми линиями x= 0 и y=b (рис. 1.6), вычислить площадь, ста­тические моменты, координаты центра тяжести, осевые и центро­бежные моменты. 1. Вычисляем площадь фигуры.

Рис. 1.6

2. Вычисляем статические моменты относительно осей OX и OY (рис. 1.6):

3. Вычисляем координаты центра тяжести O_c фигуры:

4. Вычисляем моменты инерции фигуры относительно осей OX и OY:

5. Вычисляем моменты инерции фигуры относительно центральных осей O_cX_c и O_cY_c, параллельных осям OX и OY.

Используем формулы (1.17) параллельного переноса:

Задача 3

Для плоской фигуры, ограниченной прямыми линиями y=x+ 1, y= 9 -x и y =(17 -x)/5, (рис. 1.7), вычислить площадь, статические моменты, положение центра тяжести, осевые и центробежный моменты инерции. Фигура является треугольником с вершинами A, B, C, координаты которых находим, решая попарно уравнения прямых, ограничивающих фигуру: A(2;3), B(4;5), C(7;2).  

Рис. 1.7

1. Вычисляем площадь фигуры

2. Вычисляем статические моменты фигуры относительно осей OX и OY:

3. Вычисляем координаты центра тяжести O_с фигуры:

4. Вычисляем моменты инерции фигуры относительно осей OX и OY.

5. Вычисляем моменты инерции фигуры относительно центральных осей O_сX_с и O_сY_с , параллельных осям OX и OY. Используем формулы (1.17) параллельного переноса.

Задача 4

	Дана фигура, ограниченная линиями x+y= 1 и x+ 2 y= 2. Вычислить ИХС S x, Sy, I x, Iy, I x y, положение центра тяжести относительно осей, показанных на рис. 1.8. Совместное решение уравнений позволяет найти координаты вершин треугольника: A(0;1), B(1;0), C(2;0). 1. Вычисляем площадь фигуры

Рис. 1.8

2.Вычисляем статические моменты фигуры относительно осей OX и OY(рис.1.8):

3. Вычисляем координаты центра тяжести O_c фигуры:

4. Вычисляем моменты инерции фигуры относительно осей OX и OY:

5. Вычисляем моменты инерции фигуры относительно центральных осей O_cX_c и O_cY_c, параллельных осям OX и OY. Используем формулы (1.17) параллельного переноса:

Задача 5

Для кругового сектора радиусом R с углом при вершине 2a определить моменты инерции относительно осей OX и OY (рис. 1.9). Для осесимметричного сечения удобнее пользоваться полярной системой координат. Поэтому x= r ×cosj, y =r ×sinj, d F = r d j × d r. Рассчитываем моменты инерции I _x и I_y:

Рис. 1.9

	Значения I x и Iy имеют практическое применение при различных значениях угла при вершине сектора. При a=p=180° сечение круглое (рис. 1.10).   Ясно, что I x =Iy,

Рис. 1.10

При a=0.5×p=90° поперечное сечение - полукруг (рис. 1.11)    

Рис. 1.11

Задача 6

	Для криволинейного стержня, кривизна которого k, а поперечное сечение прямоугольное (рис. 1.12), определить ИХС A, B, C, положение центра упругости относительно главных центральных осей OX и OY.

Рис.1.12

Здесь b =kh/ 2 =h/ 2R; R – радиус кривизны продольной оси стержня; F =a× b – площадь прямоугольного поперечного сечения стержня.

Для стержня с прямой осью k =0 и, значит, b=0. Поэтому получим A=F, В=0,

Ординату центра упругости определяем как

Задача 7

Для заданного поперечного сечения (рис. 1.13) необходимо определить положение центра тяжести, главные центральные оси, величину главных моментов инерции.

1. Разделим исходную плоскую фигуру на две фигуры: прямоугольник 1 и полукруг 2.

2. Через центры тяжести фигур O₁ и O₂ проведём центральные оси каждой фигуры так, чтобы они были параллельны.

3. Определим площадь каждой фигуры и геометрические характеристики относительно её центральных осей.

Фигура 1 (прямоугольник): F₁=c×3c=3c², так как ось O₁Y₁ совпадает с осью симметрии сечения.

Фигура 2 (полукруг):   поскольку ось O2Y2 совпадает с осью симметрии сечения. Формулы для вычисления моментов инерции могут быть получены указанными выше способами или взяты из справочной литературы, на- пример [19]. 4. Для нахождения центра тяжести сечения выберем вспомогательную систему координат XOY. Координаты центров тяжести составляющих фигур 1 и 2 относительно этих осей будут O1(2C;3,5C), O2(2C;1,15C).

Рис. 1.13

Определим координаты центра тяжести всего сечения:

Через центр тяжести O сечения проведём оси OX₀ и OY₀ таким образом, чтобы

ось OY₀ совпала с осью симметрии сечения и, значит, с осями O₁Y₁ и O₂Y₂.

Оси OX₁ и OY₁ – главные центральные оси, так их начало координат совпадает с центром тяжести сечения, и одновременно центробежный момент ­, поскольку ось OY₀ совпадает с осью симметрии сечения.

5. Определим главные центральные моменты инерции сечения:

Задача 8

Поперечное сечение состоит из двух фигур: швеллера 1 (профиль № 18d, ГОСТ 8240-72) и уголка неравнобокого 2 (профиль № 12,5/8 d, ГОСТ 8510-72). Основные размеры, в миллимет- рах, положение центров тяжести O1 и O2 центральные оси O1X1, O1Y1, O2 X2, O2 Y2 этих фигур показаны на рис. 1.14. 1. Из справочника [19], опре- делим основные интегральные характеристики сечений.   Фигура 1 (швеллер): F1=20,7 см^2, I x 1=1090 см^4, I x 1=86 см^4, I x 1y1=0, так как ось O1X1 совпадает с осью симметрии швеллера.   Фигура 2 (уголок): F2=23,4 см ^2, I x 2=117 см ^4, Iy2=365 см ^4, Iv2=69,5 см ^4, tga=0,400.

Рис. 1.14

2. Для нахождения центра тяжести всего сечения выбираем вспомогательные оси OX и OY, параллельные осям O ₁ X ₁ , O ₁Y ₁ , O ₂ X ₂, O ₂ Y₂ .

Координаты центра тяжести поперечного сечения определим как

Через центр тяжести поперечного сечения О проведём центральные оси OX_c и OY_c, параллельные центральным осям фигур 1 и 2.

3. Определим моменты инерции сечения относительно центральных осей OX_c и OY_c. Предварительно вычислим центробежный момент инерции уголка относительно его центральных осей:

a = arctg(0,400)=21,8°.

Тогда

Дата добавления: 2015-06-28