Доказательство. Решение систем с неизвестными множествами

Решение систем с неизвестными множествами

Утверждение. (Необходимые и достаточные условия равенства двух множеств).

а.

б. ,

.

Рассмотрим систему уравнений, которую в дальнейшем будем называть базовой системой.

(3)

Здесь А и В – известные множества, Х – неизвестное множество.

Требуется выразить множество Х через множества А и В и описать необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять известные множества А и В, чтобы базовая система имела решения. Условие АХ = Æ равносильно включению Х . Условие В равносильно включению В . Эти два включения можно записать в виде одного двойного включения В .

Тогда обязательно должно быть В . Если это условие верно, то Х – любое множество такое, что В и Х .

Покажем, что включение В не только необходимо, но и достаточно для существования решения базовой системы.

Пусть Х – любое множество такое, что В . Тогда

– решение системы (3)

Благодаря доказанным условиям равенства двух множеств, систему уравнений из двух уравнений с одним неизвестным множеством Х и непустыми правыми частями можно свести к эквивалентной ей (с тем же набором решений) базовой системе. Базовую систему мы решать умеем.

Замечание. Запись В означает, что множество не обязательно однозначно определяется множествами и . Если справедливо строгое включение В , множество - любое множество такое, что В .

Приведем несколько примеров решений системы с ненулевыми правыми частями.

Пример 1. Решить систему

Здесь А, В, С – Данные множества, Х – неизвестное множество.

Требуется выразить множество Х через известные множества А, В, С и записать условия, при которых система имеет решение.

Решение. Воспользуемся доказанным выше критерием равенства двух множеств.

(закон де Моргана) =

Здесь (и далее), проводя преобразования, мы использовали (и будем использовать) известные свойства операций над множествами.

Очевидно, что объединение нескольких множеств пусто тогда и только тогда, когда каждое из этих множеств – пусто. В результате преобразований получены 6 пустых множеств:

.

Рассмотрим сначала множества и .

А и С – непересекающиеся множества. На диаграмме Венна множества А, В, С выглядят так (рис.2)

Рис.2

Объединим пустые множества и

Объединим пустые множества .

Мы пришли к базовой системе

где Теперь нужно удовлетворить условию .

Воспользуемся тем, что и . Отсюда следует, что ВС =Æ; АВ = В; С = С (см. диаграмму Венна).

Таким образом, Но и Данная система имеет единственное решение: при условии, что В Í А и АС =Æ. Еще раз приведем диаграмму Венна (рис.3).

В Í А и АС =Æ.

Рис. 3

Пример 2. Решить систему

Дата добавления: 2014-01-03