Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Теоремы о сравнении рядов с положительными членами





Необходимый признак сходимости ряда

Теорема. Если ряд сходится, то его й член стремится к нулю при неограниченном возрастании

Доказательство. Пусть ряд

cходится, т.е. где сумма ряда (конечное фиксированное число); но тогда имеет место также равенство т.к. при и

Вычитая почленно из первого равенства второе, получаем:

или

Но Следовательно,

Что и требовалось доказать.

Следствие. Если й член ряда не стремится к нулю при то ряд расходится.

Пример. Ряд

расходится , т.к.

Рассмотренный признак является только необходимым, но не является достаточным, т.е. из того, что й член стремится к нулю, еще не следует, что ряд сходится, ряд может и расходиться.

Например, так называемый гармонический ряд

 

расходится, хотя

Расходимость гармонического ряда докажем позднее.

Пусть имеем два ряда с положительными членами:

 

 

Для них справедливы следующие теоремы.

Теорема 1. Если члены ряда не больше соответствующих членов ряда , т.е.

и ряд сходится, то сходится и ряд , причем его сумма не больше суммы ряда

Доказательство. Обозначим через и соответственно, е частичные суммы рядов и . Из следует, что

Так как ряд сходится, то существует Из того, что члены рядов и положительны, следует, что и тогда в силу неравенства Итак, последовательность частичных сумм возрастает (т.к. ее члены положительны) и ограничена сверху, следовательно, она имеет предел причем очевидно, что На основании этой теоремы можно судить о сходимости некоторых рядов.

Пример. Ряд

Сходится, т.к. его члены меньше соответствующих членов ряда

 

Но последний ряд сходится, т.к. его члены, начиная со второго, образуют геометрическую прогрессию со знаменателем . Сумма этого ряда равна . Следовательно, в силу теоремы 1, данный ряд тоже сходится, причем его сумма не превосходит .

Теорема 2. Если члены ряда не меньше соответствующих членов ряда т.е.

и ряд расходится, то и ряд расходится.

Доказательство. Из условия следует, что

Так как члены ряда положительны, то его частичная сумма возрастает при возрастании а так как он расходится, то

Но тогда в силу неравенства т.е. ряд расходится.

Пример. Ряд

расходится, т.к. его члены (начиная со второго) больше соответствующих членов гармонического ряда который, как известно, расходится.

Замечание. Теоремы 1 и 2 справедливы и в случае, если неравенства или начинают выполняться лишь для а не для всех

Лекция 20.





Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 294; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.002 сек.