Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Теоремы о сравнении рядов с положительными членами




Необходимый признак сходимости ряда

Теорема. Если ряд сходится, то его й член стремится к нулю при неограниченном возрастании

Доказательство. Пусть ряд

cходится, т.е. где сумма ряда (конечное фиксированное число); но тогда имеет место также равенство т.к. при и

Вычитая почленно из первого равенства второе, получаем:

или

Но Следовательно,

Что и требовалось доказать.

Следствие. Если й член ряда не стремится к нулю при то ряд расходится.

Пример. Ряд

расходится, т.к.

Рассмотренный признак является только необходимым, но не является достаточным, т.е. из того, что й член стремится к нулю, еще не следует, что ряд сходится, ряд может и расходиться.

Например, так называемый гармонический ряд

 

расходится, хотя

Расходимость гармонического ряда докажем позднее.

Пусть имеем два ряда с положительными членами:

 

 

Для них справедливы следующие теоремы.

Теорема 1. Если члены ряда не больше соответствующих членов ряда, т.е.

и ряд сходится, то сходится и ряд, причем его сумма не больше суммы ряда

Доказательство. Обозначим через и соответственно, е частичные суммы рядов и. Из следует, что

Так как ряд сходится, то существует Из того, что члены рядов и положительны, следует, что и тогда в силу неравенства Итак, последовательность частичных сумм возрастает (т.к. ее члены положительны) и ограничена сверху, следовательно, она имеет предел причем очевидно, что На основании этой теоремы можно судить о сходимости некоторых рядов.

Пример. Ряд

Сходится, т.к. его члены меньше соответствующих членов ряда

 

Но последний ряд сходится, т.к. его члены, начиная со второго, образуют геометрическую прогрессию со знаменателем. Сумма этого ряда равна. Следовательно, в силу теоремы 1, данный ряд тоже сходится, причем его сумма не превосходит.

Теорема 2. Если члены ряда не меньше соответствующих членов ряда т.е.

и ряд расходится, то и ряд расходится.

Доказательство. Из условия следует, что

Так как члены ряда положительны, то его частичная сумма возрастает при возрастании а так как он расходится, то

Но тогда в силу неравенства т.е. ряд расходится.

Пример. Ряд

расходится, т.к. его члены (начиная со второго) больше соответствующих членов гармонического ряда который, как известно, расходится.

Замечание. Теоремы 1 и 2 справедливы и в случае, если неравенства или начинают выполняться лишь для а не для всех

Лекция 20.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 504; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.008 сек.