Чертова лестница

Рассмотрим еще некоторые виды фракталов. На рис. 15.3 изображена лестница с бесконечным числом ступеней.

Вычислим общую длину такой лестницы: 1 * 1/3 — первая ступень, 2 * 1/9 — вторые ступени, 4 * 1/27 — третьи ступени и т. д. Общая длина ступеней равна единице: 1 * 1/3 + 2 * 1/9 + 4 * 1/27 +... = 1. Но при этом существует бесконечно много точек, которые не принадлежат ступеням, это так называемые «мокрые» точки: 0,..., 1/9, 2/9,..., 1/3, 2/3,..., 1. (Они называются «мокрыми», потому что если начать лить на ступени воду, то она свободно просочится между стенками ступеней и попадет как раз в «мокрые» точки.)

Этим простым примером иллюстрируется важнейшее положение современной математики о том, что часть равна целому. Мы только что показали, что между ступенями имеется бесчисленное число «мокрых» точек, образующих разрывы. Но, тем не менее, сумма длин всех ступеней строго равна единице! То есть «часть», составленная из длин всех ступеней, равна «целому», представляющему собой отрезок единичной длины!

Дата добавления: 2014-01-03