Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Монотонные последовательности




Определение 4 Верхняя (нижняя) грань множества значений числовой последовательности {xn} называется верхней (нижней) гранью этой последовательности и обозначается (соответственно ).

Определение 5 Числовая последовательность {xn} называется возрастающей (убывающей) , если для всех выполняется неравенство (соответственно неравенство).

Убывающие и возрастающие последовательности называются монотонными, строго убывающие и строго возрастающие – строго монотонными.

Теорема 2 (Вейерштрасс) Всякая возрастающая числовая последовательность {xn} имеет предел: конечный, если она ограничена сверху, и бесконечный, если она неограничена сверху, причем Аналогично, если {xn} – убывающая последовательность, то существует (конечный или бесконечный) предел и, следовательно, этот предел конечен, если последовательность {xn} ограничена снизу, и бесконечен, если она неограничена снизу.

Д-во. Пусть последовательность {xn} возрастает. Докажем равенство . Остальные утверждения теоремы для возрастающих последовательностей следуют из него очевидным образом.

Пусть , значение b может быть как конечным, так и бесконечным. Возьмем произвольную окрестность точки b и обозначим через ее левый конец. Очевидно . Согласно определению верхней грани

1) для любого номера имеет место неравенство ;

2) существует такой номер n0, что .

В силу возрастания последовательности {xn} из предыдущего следует, что для всех номеров n>n0 выполняется неравенство и поскольку то при n>n0 имеет место включение , а это и означает, что b является пределом последовательности {xn}. Аналогично рассматривается случай убывающих последовательностей. ■

Замечание. Если - система вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю, а x- точка, принадлежащая всем отрезкам этой системы, то.

В самом деле, последовательность {an} возрастает, а {bn} убывает, кроме того можно показать, что . Поэтому истинность утверждения сразу следует из теоремы Вейерштрасса.

 

 





Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 279; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.016 сек.