Ряд интеграл Фурье

Определение периодической функции:

, (1)

где Т – период; n – любое целое числа положительное или отрицательное.

Определение (1) выражает основное св-во периодичности функции, состоящее в том, что ход явления периодически повторяется и периодичность эта существует для всех времён от + до - То есть периодических явлений в действительности нет.

Периодическая функция есть полезная математическая абстракция:

, (2)

Формула представлена в виде 2х слагаемых. Значение и должны быть подобраны таким образом, чтобы равенство (2) выполнялось.

Частоты колебаний, из которых составляется периодическая функция, образуют гармоническую последовательность. Отдельные составляющие носят название гармоники колебания.

Выражение (2) часто употребляется в другой форме:

, (3)

,,

,

, (4)

(5)

Величина выражает среднее значение функции за период, она наз-ся постоянной составляющей. Выражается: (6)

Замечательным свойством ряда Фурье яв-ся то, что есть взять конечное число членов ряда и представить в виде: то для любого N получается наименьшее квадратное отклонение от точного значения.

С увеличением числа членов N приближение улучшается в пределе и если N в пределе стремится к бесконечности, то приближение становится точным.

Ряд Фурье в комплексной форме:

, (7)

где;.

Величина есть комплексная амплитуда и выражается по формуле: (8).

Наглядный путь к получению разложения Фурье не периодической функции состоит в применении перехода. Для этого возьмём формулу (7) и подставим в неё значение из формулы (8):.

Сделаем следующую замену последующей схеме:

текучая частота, изменяющаяся непрерывно; её приращение.

(9);

(10); - интеграл Фурье в комплексной форме.

(11).

Комплексная амплитуда каждого отдельного колебания бесконечно мала и равна:

.

Частотный интервал бесконечно мал и равен.

Дата добавления: 2014-01-03