Косвенное измерение

При косвенных измерениях искомое значение величины A находят расчётом на основе прямых измерений других величин, связанных с измеряемой величиной известной зависимостью:

A = f (a ₁, a ₂, … a_i, … a_m) (7.5)

Результатом косвенного измерения является оценка величины А, которую находят подстановкой в формулу (7.5) оценок аргументов a_i. Поскольку каждый из аргументов a_i измеряется с некоторой погрешностью, то задача оценивания погрешности результата сводится к суммированию погрешностей измерения аргументов. Вклад отдельных погрешностей измерения аргументов в погрешность результата зависит от вида функции (7.5).

С точки зрения оценки погрешностей косвенные измерения делят на линейные и нелинейные. При линейных косвенных измерениях уравнение измерений имеет вид:

где b_i – постоянный коэффициент при аргументе a_i. Любые другие виды функциональной зависимости (7.5) относят к нелинейным косвенным измерениям.

Погрешности измерения аргументов могут быть заданы либо своими границами, либо доверительными границами с доверительными вероятностями.

Простейшая оценка погрешности результата получается суммированием предельных погрешностей, т.е. подстановкой границ Da₁, Da₂, … Da_m в выражение:

D A = D a ₁ + D a ₂ + … + D a_m (7.6)

Такая оценка завышена, так как предполагает, что погрешности аргументов одновременно максимальны и имеют один знак. Более корректно статистическое оценивание:

.

Если погрешности измерения аргументов заданы доверительными границами с одинаковыми доверительными вероятностями P _Д, то при нормальном распределении этих погрешностей доверительные границы результата находят по формуле:

(7.7)

Нелинейные косвенные измерения характерны тем, что результаты измерений аргументов подвергаются функциональным преобразованиям. Поэтому при нелинейных косвенных измерениях отказываются от интервальных оценок погрешности результата, ограничиваясь приближённой оценкой её границ. В основе приближённого оценивания погрешности нелинейных косвенных измерений лежит линеаризация функции (7.5) и дальнейшая обработка проводится как при линейных измерениях

Из выражения для полного дифференциала функции А, заменяя дифференциалы на погрешности, получаем:

(7.8)

Для случая равномерного распределения погрешностей аргументов при числе слагаемых m < 5 границы погрешностей определяют по формуле (7.6). Если погрешности аргументов заданы их доверительными границами, оценку погрешности результата измерения выполняют по (7.7). При этом роль коэффициентов b ₁, b ₂, …, b_m выполняют частные производные:

.

Для наиболее часто встречающихся функциональных зависимостей формула (7.8) даёт простые правила оценивания абсолютной D A или относительной d A погрешностей косвенного измерения.

Правила оценивания абсолютной или относительной погрешности косвенного измерения

Погрешности в суммах и разностях () определяются с учетом абсолютных погрешностей

Погрешности в произведениях и частных (или) определяются с учетом относительных погрешностей  

Измеряемая величина умножается на точное число (A = B*a), относительная погрешность будет

Измеряемая величина возводится в степень (A = aⁿ), относительная погрешность будет

Погрешность в произвольной функции одной переменной (A = f(a)) определяется как относительная погрешность

Дата добавления: 2014-01-03