Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Лекция № 6





Тема: биномиальные коэффициенты

Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:

1. Формула бинома Ньютона.

Свойства биномиальных коэффициентов:

2. Следствия формулы числа сочетаний без повторений;

3. Следствия формулы бинома Ньютона.

Краткое содержание лекционного материала

1. Формула бинома Ньютона. Бином Ньютона (1+x)n, после раскрытия скобок и приведения подобных, преобразуется в многочлен канонического вида a0xn+a1xn-1+…+an-1x1+anx0, где a0=1, an=1, x0=1. Оказывается, что , где i=0,1,…,n. Поэтому числа сочетаний называются также биномиальными коэффициентами. Применятся обозначение: . Формула в следующей теореме называется формулой бинома Ньютона или биномом Ньютона.

Теорема 1. .

Доказательство. . Раскроем скобки и приведем подобные: в полученном многочлене коэффициент при степени xi равен сумме i единиц и n-i нулей. Число всевозможных выборов i единиц из общего числа выборов n равно .

2. Свойства биномиальных коэффициентов как следствия формулы числа сочетаний без повторений. Используя формулу теоремы 5 лекции №5, можно доказать свойства биномиальных коэффициентов, которые мы приведем в следующей теореме.

Теорема 2. , , .

Доказательство. . .

.

Задача 1. Найти все биномиальные коэффициенты для .

Решение запишем в виде треугольника Паскаля – бесконечной таблицы, имеющей треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы, так как . Каждое внутреннее число равно сумме двух расположенных над ним чисел: . Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси: .

Биномиальный коэффициент лежит на пересечении строки n и столбца m.

m n
                   
                 
               
             
           
         
       
     
   
 

 



3. Свойства биномиальных коэффициентов как следствия формулы бинома Ньютона. Используя формулу теоремы 1, можно доказать свойства биномиальных коэффициентов, которые мы приведем в следующей теореме.

Теорема 3. Имеют место следующие тождества:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Доказательство. 1) В тождестве теоремы 1 подставим x=1.

2) В том же тождестве подставим x=-1.

3) Продифференцируем обе части того же тождества по x:

.

Затем подставим x=1.

4) Проинтегрируем обе части того же тождества по x от 0 до 1:

.

Получим: .





Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 234; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.003 сек.