Лекция 1. Введение

Сходимость, аппроксимация и устойчивость разностных схем.

Решение одномерных нестационарных задач

Решение одномерной линейной задачи с краевым условием второго рода

В реальных задачах одно или несколько краевых условий часто могут быть выражены через производную (краевые условия Неймана).

Часто при работе с математическими моделями приходится исследовать зависимость параметров системы от времени. Такой класс задач называется нестационарные. Существует два способа получения решения: явный и неявный метод. При использовании любого из способов нам надо принять шаблон для замены частных производных на разностные аналоги.

LV+P=0 исходный дифференциальный оператор

L^hV^h+p^h=0 разностный оператор. h – шаг сетки

|| V^(h)-V^h ||≤c_1*h^k – сходимость порядка К. Разностная схема аппроксимируется с точностью К.

с₁=Const, не зависит от h

Аппроксимация

L^hV(h)+p^h=δ^h<o:p</o:p

Если норма невязки || δ^h || ≤ c_2*h^k – имеет место аппроксимация порядка К.

Устойчивость к возмущению

L^hV^h+p^h=0

L^hZ^h+p^h=ε^h

Познавательная и практическая деятельность человека требует количественной информации о состоянии (качестве) объектов окружающих человека. Основной способ получения такой информации – измерение и его оценка. Получение информации о качестве объектов является необходимым условием выпуска конкурентоспособной продукции, определяющим фактором успешной работы любого предприятия [1].

Для измерения состояния объекта необходимо:

1. выбор существенных параметров объекта;

2. выбор методов измерений и обеспечение условий проведения измерений;

3. установление интервалов колебаний значений этих параметров (допусков) и вероятностей попадания их в эти интервалы;

4. установление законов распределения случайных процессов;

5. обеспечение оценки результатов измерений и состояния объекта, причем состояние объекта включает n существенных параметров, которые измеряются и при измерениях не оказывается значимое влияние на состояние объекта.

Перечисленные положения представляют собой своеобразную логическую цепь, изъятие из которой какого-нибудь звена может привести к получению недостоверной информации, и как следствие, к значительным потерям и принятию ошибочных решений.

Возможность применения результатов измерений для правильного и эффективного решения задачи определяется следующим тремя условиями:

1. результаты измерений должны выражаться в узаконенных единицах;

2. значения критериев оценки результатов измерений должны быть известны;

3. результаты измерений должны быть получены с заданной точностью.

Точные и объективные измерения являются обязательным условием проведения научных исследований на необходимом уровне, обеспечения эффективности производства и выпуска качественной продукции. Основной задачей метрологии является обеспечение требуемой точности измерений. Например, в химической технологии это измерения параметров технологического процесса, измерения состава и структуры продукции, промежуточных продуктов, сырья и отходов. При этом к измерениям предъявляются следующие требования:

1. Затраты на измерения должны быть эффективны во времени (экспрессны). Экспрессность измерений приемлема, если отсутствует их значимое влияние на технологический процесс. Например, при выплавке стали не должно быть ожидания результатов анализа состава по концентрации серы, углерода, фосфора и других элементов более 10 минут. Иначе ухудшаются экономические и другие показатели процесса.

2. Затраты на измерения должны быть экономичны.

3. Затраты на измерения должны обеспечить оптимальное управление и безопасность технологического процесса.

Основой выполнения этих требований является возможность квалиметрической оценки многоканальной измерительной информации за незначительное время. Например, при управлении технологическим процессом за одну секунду поступает более 500 каналов измерительной информации. Следует отметить, что эффективные достоверные заключения о результатах измерений и о состоянии технологического процесса или оборудования возможны при наличии математических моделей процессов и систем.

Все вышеупомянутое можно осуществить в случае автоматизации переработки измерительной информации, что предъявляет жесткие требования к понятиям, определениям, алгоритмам (процедурам) расчетов в метрологии и алгоритмам квалиметрических оценок. Например, определение основного понятия метрологии точности как близость к нулю разницы измеренного и достоверного (истинного) значения параметра представляет собой весьма мягкое определение, с которым нельзя провести математические операции, а тем более внедрить автоматику в управление технологическим процессом.

Все разделы книги имеют аналоги в виде программных продуктов, позволяющих решать автоматически метрологические и квалиметрические задачи указанные в содержании.

Дата добавления: 2014-01-03