Асимптоты

Впервые мы познакомились с этим понятием, когда рассматривали пределы при .

При исследовании функции важно установить форму ее графика от начала координат.

0.2.1 Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая тем свойством, что при неограниченном удалении по графику функции расстояние между кривой и прямой стремится к нулю.

Они могут быть: вертикальные и наклонные

(горизонтальные – частный случай наклонной асимптоты).

а) вертикальные: для нахождения вертикальной асимптоты нужно найти точки (те значения ), при которых функция обращается в бесконечность, т.е. , тогда уравнение является уравнением вертикальной асимптоты.

Примеры:

(ось )

б) Пусть график функции имеет асимптоту не параллельную оси , т.е. наклонную (невертикальную). Тогда уравнение этой прямой имеет вид .

Определим и .

Точка принадлежит графику функции , опустим перпендикуляр на асимптоту , т.е: . Из определения асимптоты следует, что при или

.

Рассмотрим , где - угол наклона асимптоты к оси . Т.к. при и .

Т.к.тогда

Из (1) следует, что

- (2)

бесконечно малая функции

Разделим (2) на и перейдем к пределу

получим

Определим теперь Т.к. , то . Перейдем к пределу при , получим

где находим из (3).

Таким образом, для нахождения асимптоты нужно найти пределы (3) и (4). Справедливо и обратное утверждение, что если (3) и (4) существуют, то

- асимптота. Если хотя бы один из пределов не существует при , то график функции асимптот не имеет.

В частном случае коэффициент может быть равен нулю, тогда асимптота параллельна оси и называется горизонтальной.

Аналогично находят асимптоты при . Причем пределы могут быть различными при и при .

Пример: ;

1) вертикальная асимптота (ось ) т. - точка разрыва II рода.

2)

асимптот при нет (не находим).

- наклонная асимптота (ось ).

Дата добавления: 2014-01-03