Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Асимптоты кривой


Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки M кривой до этой прямой при удалении точки M в бесконечность стремиться к нулю.

 
 

 


Асимптоты бывают вертикальными, они показывают поведение функции в окрестности особой точки, когда , и наклонными, дающими представление о поведении функции при .

Если особая точка, уравнение вертикальной асимптоты .

Теорема. Кривая имеет наклонную асимптоту при , уравнение которой , если принимают конечное значение и .

Доказательство. Из определения асимптоты следует , где бесконечно малая при , то есть . Остается определить параметры уравнения асимптоты. Для этого вычислим , . Итак, если оба предела существуют и конечны, параметры прямой и определены, причем точки этой прямой бесконечно сближаются с точками кривой при .

Пример. . Ясно, что - уравнение вертикальной асимптоты.

Определим ,

.

Наклонная асимптота при имеет уравнение .

 

Исследование функции, построение ее графика

Алгоритм исследования

I. Исследование самой функции. Необходимо установить

1) Область определения функции, ее особые точки, вертикальные асимптоты.

2) Точки пересечения кривой с осями координат

3) Функция четная, нечетная или общего вида

4) Функция периодическая или не периодическая

 

II. Исследование производной функции. Необходимо определить

1) Точки максимума и минимума функции

2) Интервалы возрастания и убывания функции

 

III. Исследование второй производной

1) Точки перегиба

2) Интервалы выпуклости и вогнутости функции

IV. Исследование поведения функции при . Наклонные асимптоты.

В качестве примера рассмотрим функцию

I.

1. Область существования функции – вся числовая ось, то есть . Следовательно, у этой кривой нет особых точек, нет и вертикальных асимптот.

2. Кривая пересекает оси координат в начале координат. Следовательно, первая характерная точка графика .

3. Кривая нечетная: , следовательно, она симметричная относительно начала координат.



4. Функция непериодическая.

II. 1. Определим первую производную , приравниваем ее нулю, откуда получаем еще две характерные (критические) точки , , координаты этих точек на плоскости , . Рассмотрим первую из этих точек , левее ее производная , правее , следовательно, это точка минимума функции. Левее точки производная правее она отрицательна, значит это точка максимума функции.

2. Знак первой производной определяется выражением , следовательно, она положительна на интервале , в остальных областях она отрицательна. Итак, функция убывает на интервале , возрастает на интервале , затем опять убывает на .

III. 1. Определяем вторую производную функции:

.

 

Приравниваем производную нулю и получаем еще три характерные точки функции, одна из которых уже известна. Две другие и . На координатной плоскости они имеют координаты , . Знак второй производной определяется ее числителем. Левее точки она отрицательна, правее . Следовательно, это точка перегиба. Левее точки имеем , правее ., еще одна точка перегиба. Левее точки получаем , правее , третья точка перегиба.

2. Поскольку других точек, в которых вторая производная меняет знак у функции нет, можно утверждать, что на интервале кривая выпуклая, на интервале кривая вогнутая, на интервале кривая опять выпуклая и, наконец, на интервале - вогнутая.

IY. Определяем наклонные асимптоты кривой, уравнение асимптоты , причем

,

,

Поскольку уравнение асимптоты , асимптотой функции является ось .

В итоге график функции имеет вид

 

 

 

На рисунке отчетливо наблюдаются точки максимума и минимума функции и три точки перегиба. Видим также, что кривая «прижимается» к оси при , стремящемся как к плюс, так и к минус бесконечности, следовательно, асимптота единая.

Рассмотрим пример при другом оформлении результата. Пусть . Область существования данной функции – вся числовая ось, кроме точки . Функция непериодическая (нет тригонометрических функций), общего вида (не четная, не нечетная).

Определим вначале все характерные точки графика, то есть точки пересечения с осями координат, особые точки, точки максимума и минимума, точки перегиба. Для этого вычислим первую и вторую производные

,

.

Исследуя функцию и ее производные, устанавливаем, что имеется одна особая точка и еще три характерных точки , , .

Таблица

-2 -1
<0 -8 <0 -9 <0 >0 н.с. >0
<0   <0 >0   >0 н.с. <0
<0 >0 >0 >0   >0 н.с. >0
Примеч.   , убыв., выпукл. Т. Пер. , убыв., вогн.   Min , возр., вогн.     , возр., вогн.   Н.с. , убыв., вогн.  

В таблице собрана вся информация о функции, примечания позволяют проще построить ее график.

Определим наклонную асимптоту кривой , причем

,

.

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба | ТЕМА 8. СУБЪЕКТЫ И ОБЪЕКТЫ ПРАВА ПРОМЫШЛЕННОЙ СОБСТВЕННОСТИ. УСЛОВИЯ ПАТЕНТОСПОСОБНОСТИ. ПАТЕНТ, ЕГО СТРУКТУРА

Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 751; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2021) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.009 сек.