Свойства функции распределения и плотности распределения

1. для любого , кроме того,

, .

Функция распределения определяется как вероятность некоторого события, и выполнение неравенства невозможно, а выполнение неравенства - достоверно для любой случайной величины.

Пусть теперь непрерывная случайная величина принимает значения из интервала (a,b). Тогда ее график выглядит так:

Как и у дискретной случайной величины график функции распределения расположен в полосе от 0 до 1. Когда случайная величина меняется от a до b, значения функции распределения возрастают от 0 до 1. При х ≤ а ординаты графика равны 0. При х ≥ b функция становится постоянной, равной 1. Однако в отличие от дискретной случайной величины график функции распределения в данном случае есть непрерывная кривая.

2. Если функция непрерывна и дифференцируема, то ее производная и будет плотностью распределения:

. (16.2)

Отсюда вытекает, что функция распределения является первообразной для плотности вероятности. Функция распределения может быть представлена через плотность распределения:

3. Интеграл от плотности распределения по промежутку от -¥ до +¥ равен единице:

. (16.3)

4. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, заключенное в промежутке (a,b), равна приращению функции распределения на этом промежутке и равна интегралу от a до b от плотности распределения:

. (16.4)

5. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение, например a, равна нулю:

.

Зная функцию распределения непрерывной случайной величины x или ее плотность, мы всегда можем найти вероятность того, что x принимает значения в промежутке от a до b. Кроме того, по функции распределения x однозначно определяется ее плотность и наоборот.

Дата добавления: 2014-01-03