Элементы математической теории погрешностей

КЛАССИФИКАЦИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ

Существует много признаков, по которым можно классифицировать погрешности измерений. Различают объективные и субъективные, статистические и динамические погрешности. При математической оценке погрешности измерения делят на систематические, случайные, а также промахи.

Систематические погрешности вызываются факторами, действующими одинаковым образом при многократном повторении одних и тех же измерений. Например, при взвешивании тела в воздухе, на пружинных весах, мы будем допускать систематическую погрешность, связанную с выталкивающей силой. Вычислив ее, согласно закону Архимеда, и внеся соответствующую поправку, можно избавиться от этой систематической погрешности. Однако не всегда систематические погрешности можно исключить так просто. Их причинами могут быть смещения стрелки прибора или шкалы, неправильное положение наблюдателя и множество других причин. Различают следующие систематические погрешности:

- инструментальные (из-за неточности прибора);

- личные (из-за свойств наблюдателя);

- установочные (например, не горизонтальность весов);

- связанные с методом измерений (например, измерение температуры газового потока термопарой с открытым спаем);

- теоретические, возникающие из-за применения неточных или ошибочных формул.

Учтенные заранее систематические погрешности на точность измерения не влияют. Устранить их полностью, как правило, не удается, так как зачастую неизвестны все причины, их вызывающие.

Наиболее конструктивный путь уменьшения систематических ошибок – проведение, если это возможно, измерения одной и той же величины несколькими методами.

Случайные погрешности обязаны своим происхождением ряду причин, действие которых неодинаково в каждом опыте и не может быть учтено заранее. Это означает, что для одного и того же значения измеряемой физической величины погрешности измерений, выполненных многократно одним и тем же прибором, не совпадают, но группируются вокруг некоторого значения (рис. 1.4).

Рисунок 1.4. Распределение погрешностей: а – случайные; б – систематические; в – промахи

Кривая, проведенная через среднее значение погрешностей для каждого значения физической величины, дает закон изменения систематической погрешности. Отклонения от этой кривой представляют собой случайные погрешности отдельных измерений. Величина случайных погрешностей различна даже при измерениях, выполняемых одинаковым образом. Если систематическую погрешность можно учесть поправкой, то случайная погрешность может иметь различную величину в одном и том же опыте. Чем больше разброс случайных погрешностей, тем менее точен прибор. Для оценки неизбежных случайных погрешностей и разработки мероприятий по уменьшению их влияния на результат эксперимента используется аппарат теории вероятности.

Иногда в результате небрежности экспериментатора возникают грубые ошибки (например, в результате неверной записи: вместо 10,5К – 105К). Такие грубые ошибки называют промахами. Математическая теория ошибок позволяет отличить промахи от закономерных случайных ошибок. Для этого используются специальные критерии.

Проведем одним и тем же методом в одних и тех же условиях N измерений одной и той же величины, например длины стержня, обыкновенной линейкой. Проводим первое измерение – получаем длину x₁, второе – x₂, третье – x₃ и т.д. Причем все эти измерения разнятся по условиям их проведения (разные наблюдатели, разная температура окружающей среды, т.е. разная цена деления линейки, и т.д.), а, следовательно, и по результатам. Возникает вопрос, какое же из этих значений ближе всего к действительной длине стержня. Многочисленные эксперименты показали, что в большинстве случаев результаты экспериментов группируются вокруг их среднеарифметического

которое при и отсутствии систематической погрешности стремится к действительному значению измеряемой величины. Выражение (1.10) позволяет решить первую задачу измерения, т.е. найти численное значение измеряемой величины.

Для решения второй задачи, т.е. оценки допущенной при измерении погрешности, нанесем полученные нами результаты на числовую ось и разобьем ее на равные участки (здесь, – границы участков, а не результаты эксперимента). Характерный представитель каждого участка обозначим

Найдем теперь, какое количество измерений попадет в каждый выделенный нами участок. Результаты 100 измерений длины стержня приведены в таблице (истинная длина стержня 100 мм, величина выбрана произвольно).

В этой же таблице приведены и некоторые результаты обработки эксперимента, которые понадобятся нам в дальнейшем.

Величина, т.е. отношение попавших в заданный интервал измерений, к их общему числу, называется частотой события. Нетрудно видеть, что существует связь между частотой события и расположением выделенного нами участка на числовой оси (рис. 1.5,а). Эта связь называется гистограммой (рис. 1.5б). Чем ближе расположен участок к истинному значению измеряемой величины, тем больше частота события. Например, в диапазон 100 - 100,5 мм попадает 37% всех измерений.

Для другого количества измерений, например N=101, гистограмма, оставаясь неизменной качественно, количественно будет несколько меняться. При стремлении числа экспериментов к бесконечности в каждом интервале частота события стремится к некоторой величине, которая называется вероятностью события (в нашем случае вероятностью появления значения измеренной величины в данном интервале):

Гистограмма в этом случае является плавной кривой не зависящей, естественно, от числа измерений (рис. 1.4,в). Подобный вид будет иметь гистограмма и при изменении других физических величин. Однако ее неудобство заключается в том, что частота события, а, следовательно, и вероятность, зависят от произвольно выбранного нами интервала. Действительно, стоит выбрать, например, в два раза больше – и соответственно увеличится

Рисунок 1.5 Распределение случайных погрешностей на числовой оси

вероятность (это нетрудно видеть из таблицы). А нам, естественно, хотелось бы иметь некоторый универсальный параметр, характеризующий распределение случайных погрешностей. Для этого вероятность (или частоту) появления погрешности относят к единичному интервалу.

Этот комплекс

называют плотностью вероятности. Он зависит уже лишь от (в таблице приведены приближенные значения).

Вид этой зависимости, которая называется законом распределения случайных погрешностей, может быть найден из вполне естественных предположений:

1. Погрешности измерений могут принимать непрерывный ряд значений;

2. При большом числе измерений погрешности одинаковой величины, но разного знака, встречаются одинаково часто;

3. Чем больше погрешность, тем меньше частота ее появления.

Эти предположения (иногда их называют постулатами Гаусса), проверенные многочисленными экспериментами, приводят к так называемому закону нормального распределения погрешностей или закону Гаусса:

где - среднее квадратичное отклонение, а – дисперсия измерения, параметр, характеризующий величину случайных погрешностей.

Имеются и другие законы распределения случайных ошибок, однако в большинстве случаев, когда погрешности измерений не слишком велики, закон Гаусса находится в отличном согласовании с экспериментом. Это связано с тем, что часто суммарная погрешность является результатом совместного действия ряда причин, каждая из которых вносит малую долю в общую погрешность. В этом случае, по какому бы закону не были распределены погрешности, вызываемые каждой из причин, результат их суммарного действия приведет к гауссовому распределению погрешностей. Это положение строго доказывается в математике и является следствием центральной предельной теоремы Ляпунова.

Как же практически воспользоваться формулой Гаусса? По результатам многократных измерений одной и той же физической величины в одних и тех же условиях мы можем найти (например, по формуле (1.10)) и дисперсию (см. формулу (1.18)). Следовательно, по формуле (1.13) можем рассчитать плотность вероятности для данного измерения на любом расстоянии от. Выделим теперь на числовой оси бесконечно малый отрезок. Вероятность попадания измерения в этот отрезок соответствует величине участка площади под кривой нормального распределения:

(см. формулу (1.12)). Таким образом, величина площади, заштрихованная на рис. 1.6, равна вероятности появления результата измерения на отрезке.

Рисунок 1.6 Закон нормального распределения случайных погрешностей

Возвращаясь к примеру, приведенному в таблице, оценим вероятность появления значения измеренной величины в интервале, например, 100 – 100,5 мм:

Аналогично можно найти вероятность появления значения измеренной величины и в других интервалах. Сложив их, получим общую площадь под кривой или вероятность появления результата измерения в диапазоне от до. Нетрудно непосредственным вычислением убедиться, что величина этой вероятности равна 1. Впрочем, убедиться в том, что

можно и без вычислений. Действительно, в интервал от до, очевидно, должно попасть любое значение измеренной величины. Следовательно, частота этого события или вероятность, т.к..

Анализируя формулу (1.13), можно убедиться, что плотность вероятности достигает максимума при, поэтому называют математическим ожиданием. Максимум

с ростом уменьшается. А так как площадь под кривой для любого значения в диапазоне равна 1, то увеличение приводит к «растягиванию» кривой вдоль оси, т.е. чем больше рассеивание или среднее квадратичное отклонение случайной величины, тем менее точным является измерение.

Таким образом, для того чтобы указать величину случайной погрешности измерения, необходимо найти вероятность нахождения результата эксперимента в диапазоне. Эта вероятность называется доверительной, а интервал значений измеряемой величины носит название доверительного интервала. Итак, оценка случайной погрешности требует задания двух величин – доверительного интервала и доверительной вероятности.

Для нахождения доверительной вероятности воспользуемся законом нормального распределения и формулой (1.14):

Этот интеграл обычно преобразуют с помощью подстановки

Тогда

Где пределы интегрирования получены подстановкой

Найденный интеграл зависит лишь от величины, называемой квантилем нормального распределения. Интеграл

(1.17)

называют интегралом вероятности или функцией Лапласа. Он протабулирован, так как не выражается аналитически.

Приведем некоторые распространенные значения интеграла вероятности (доверительная вероятность) для доверительного интервала, выраженного в долях среднего квадратичного отклонения, которые полезно запомнить:

Это означает, что для из 1000 измерений 997 уложатся в интервал и лишь в трех случаях можно ожидать больших случайных погрешностей. Таким образом, с большой достоверностью (говорят надежность 0,997) можно сказать, что погрешность измерения величины не превышает. Перед испытаниями принимается решение об уровне надежности измерений, мерой которой является доверительная вероятность. Чем более ответственным является испытание, тем больше назначается доверительная вероятность. Если при этом доверительный интервал, т.е. погрешность измерений, получается слишком большим, то принимают меры по увеличению точности измерений (увеличение числа измерений, применение более точных приборов и т.п.).

До сих пор мы считали, что в нашем распоряжении имеется неограниченно большое число измерений. Но на практике часто приходится иметь дело с весьма ограниченным числом измерений. В этом случае величина среднего квадратичного отклонения отдельного измерения может быть определена лишь приближенно:

(1.18) При величина. Аналогично и среднеарифметическое при. В реальной ситуации среднеарифметическое измерений определяется с некоторой погрешностью:

С увеличением числа измерений среднее квадратичное отклонение среднеарифметического уменьшается, что часто используют для повышения точности измерений, если случайная погрешность является определяющей.

При практической работе важно строго разграничивать области применения среднеквадратичной погрешности отдельного измерения и среднеарифметического. Последняя применяется всегда, когда необходимо оценить погрешность величины, которую мы получили в результате всех произведенных измерений. Если необходимо охарактеризовать точность применяемого способа измерений, следует указывать его погрешность. Зная ее, можно выбрать нужное число измерений, чтобы, пользуясь формулой (1.19), получить допустимую случайную погрешность окончательного результата измерений. При ограниченном числе измерений связь между доверительными вероятностью и интервалом определяется не только среднем квадратичным отклонением, как это было в (1.17), но и зависит от числа измерений, т.к. сама величина (см. зависимость (1.18)) отягчена погрешностью, зависящей от. Соответствующую функцию получил Стьюдент, пользуясь аппаратом теории вероятностей: (1.20)

Величина, называемая квантилем Стьюдента, в соответствующих таблицах для пяти уравнений надежности:. Это позволяет при заданном уровне надежности для измерений оценить доверительный интервал, рассчитав предварительно по (1.8) среднее квадратичное отклонение. Возможно решение и обратной задачи.

Несколько слов о выявлении промахов. Промах – это результат грубой ошибки экспериментатора, нарушающий закономерные отклонения случайной величины от математического ожидания, следовательно, вероятность его появления ничтожно мала. Так, на практике иногда отбраковывают все результаты, погрешность которых превышает. Однако при большом числе измерений вероятность появления погрешностей, превышающих, достаточно велика. Существуют различные способы, связывающие вероятность появления промаха с числом измерений. Для этого вычисляют отклонения «подозреваемого» результата от наиболее вероятного (среднеарифметического), обычно в долях среднего квадратичного отклонения и сравнивают полученную величину, например, с критерием Шовена. Если

где — критерий Шовена, вычисленный для ряда значений, то результат считается промахом. Это значит, что вероятность появления такого результата исчезающе мала при данном числе измерений и его следует исключить.

Дата добавления: 2014-01-03