Метод наименьших квадратов

ОБРАБОТКА И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Завершив эксперимент, исследователь имеет результаты в виде таблицы с цифровыми данными, погрешности которых определе­ны, например, по методике, приведенной в разд. 1. Дальнейшая обработка результатов эксперимента заключается обычно в отыс­кании функциональной зависимости, связывающей измеряемые величины.

Рисунок 2.1 Графическое изображение экспериментальных точек

Если изобразить экспериментальные точки в определенном масштабе (рис. 2.1), то задачу можно сформулировать так: отыс­кать такую кривую, чтобы все эксперимен­тальные точки оказались к этой кривой как можно ближе.

Задача существенно упро­щается, если вид искомой зависимости известен априори. Например, пусть из теорети­ческих соображений связь, изображенная на рис. 2.1, будет прямо пропорциональной:

Тогда решение задачи сводит­ся к подбору такого коэффи­циента в (2.1), чтобы все величины типа (2.2) были минимальными (рис. 2.2).

Рисунок 2.2 Аппроксимация экспериментальных данных

Здесь - значения, полученные в результате эксперимента; - величина, получен­ная подстановкой в зависимость (2.1).

Если вид зависимости между исследуемыми вели­чинами заранее неизвестен, то можно подобрать его, строя результаты экспери­мента в различных функци­ональных шкалах. Это, в значительной степени, вопрос интуиции исследователя, однако и здесь существуют некоторые выработанные практикой приемы (см. разд. 2.3). И наконец, если не уда­лось подобрать достаточно простую функциональную зависимость, то результаты эксперимента всегда можно аппроксимировать полиномом более или менее высокой степени.

Коэффициенты полинома или другой функции могут быть най­дены различными методами. Наиболее полно задача аппроксима­ции экспериментальных данных решается методом наименьших квадратов. Отклонения экспериментальных точек от аппроксими­рующей функции могут быть как положительными, так и отрицательными. Поэтому величина суммы отклонений не характеризует отклонения всех точек. Однако, если суммировать квадраты отклонений, то полученная величина определяет, наско­лько близки все экспериментальные точки к кривой. Сле­довательно, для нахождения соответствующих коэффициентов ис­комой зависимости нужно потребовать, чтобы сумма квадратов отклонений была минимальной, т. е.

Это и есть основная формула метода наименьших квадратов.

Рассмотрим применение этого метода на примере простейшей зависимости (2.1). В этом случае условие (2.3) можно записать так:

или после дифференцирования

откуда

Разумеется, раз число измерений n конечно, то и коэффициент a определен с некоторой погрешностью. Найдем ее, представив, т. е. как результат косвенного измерения по ряду пря­мых.Используя (1.22), получим

Часто в практике встречаются случай, когда

Такие измерения называются равноточными. Тогда среднее квадратичное отклонение можно записать в виде

Продифференцировав (2.4) и подставив результат в последнее выражение, получим

Таким образом, чем больше число измерений, тем меньше погреш­ность аппроксимации.

Аналогично (2.4) можно из условия (2.3) получить соответст­вующие формулы и для других функций. Известно, что любую зависимость можно достаточно точно аппроксимировать многочле­ном соответствующего порядка. Однако при описании эксперимен­тальных данных нет смысла чрезмерно повышать точность аппрок­симации. Разумный предел, очевидно, соответствует ошибке экс­перимента. На практике обычно ограничиваются многочленом четвертой степени:

Используя условие (2.3) метода наименьших квадратов, получим

где

Продифференцируем это выражение по коэффициентам:

Число уравнений системы соответствует числу искомых коэф­фициентов (А, В, С, D, Е). Для решения приведем систему (2.7) к каноническому виду:

Откуда

Аналогично находятся и остальные коэффициенты. Из послед­ней формулы видим, что нахождение коэффициентов полиномов сравнительно больших степеней сопровождается громоздкими вы­числениями. Они обычно выполняются на ПК.

Дата добавления: 2014-01-03