Математическое представление сигнала

Лекция №5. Необходимые математические представления о сигнале

В предыдущей главе мы показали преобразование изменяющегося во времени аналогового сигнала f (t) при соответствующем интервале дискретизации и представлении выборок в цифровой форме. При малом интервале дискретизации можно достаточно точно воспроизвести первоначальный аналоговый сигнал по цифровому сигналу. Если временной интервал [ a;b ] разделить на одинаковые отрезки, а сигнал ʃ, уже подвергшийся дискретизации, перевести в цифровую форму и записать в виде ряда значений N точек

f = (f ₁,f₂,……,f_N)

то f представить N – мерным вектором (N -мерным вектором называется величина, представленная набором числовых значений N, расположенных в определённом порядке). Элемент из этого числового набора называется компонентной вектора.

a b t

Функцию f(t) приближаем вектором f

f₁ f₂ f_{3…. ....}f_N-1 f _N

a b t

С увеличением N степень Приближения повышается

r HsE6QfnmbHsq1WhjcqUDHtaFdM7WKJjvq2y1WW6Ws8lsuthMZlldT+621Wyy2OYf5vV1XVV1/iNQ y2dFJzkXOrB7EW8++ztxnJ/RKLuLfC9tSN+ix34h2Zf/SDqOOEx11McO+OnRvowe9Rqdz28rPIjX e7RffwHWPwEAAP//AwBQSwMEFAAGAAgAAAAhAJmiQp7YAAAABQEAAA8AAABkcnMvZG93bnJldi54 bWxMjkFLw0AQhe+C/2EZwZvdtNS2xEyKCIoHCbTqfZsdk2h2Nma3SfrvnZ7qafh4jzdftp1cqwbq Q+MZYT5LQBGX3jZcIXy8P99tQIVo2JrWMyGcKMA2v77KTGr9yDsa9rFSMsIhNQh1jF2qdShrcibM fEcs2ZfvnYmCfaVtb0YZd61eJMlKO9OwfKhNR081lT/7o0P45fXpc6mHzXdRxNXL61vFVIyItzfT 4wOoSFO8lOGsL+qQi9PBH9kG1SIsllKUM1+DkviMB4R7QZ1n+r99/gcAAP//AwBQSwECLQAUAAYA CAAAACEAtoM4kv4AAADhAQAAEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0NvbnRlbnRfVHlwZXNdLnhtbFBL AQItABQABgAIAAAAIQA4/SH/1gAAAJQBAAALAAAAAAAAAAAAAAAAAC8BAABfcmVscy8ucmVsc1BL AQItABQABgAIAAAAIQDswPqWKAIAAEkEAAAOAAAAAAAAAAAAAAAAAC4CAABkcnMvZTJvRG9jLnht bFBLAQItABQABgAIAAAAIQCZokKe2AAAAAUBAAAPAAAAAAAAAAAAAAAAAIIEAABkcnMvZG93bnJl di54bWxQSwUGAAAAAAQABADzAAAAhwUAAAAA "/> f₁ f₂ f_{3……. ……}f_N-1 f _N

a b t

При N =∞ Исходная функция ʃ(е

a b t

Рис. 5.1. Векторное представление функции

Качество приближения функции f(t) меняется в зависимости от числа N. Если N увеличивать, то степень приближения заметно улучшается. Если увеличивать N до бесконечно большого числа, то вся информация, содержащаяся в f(t), будет содержаться в f (Рис.3.1.) Это означает, что, в сущности, анализ вектора f вместо функции f(t) (если она не является «особой», т.е. имеет точек разрыва) аналогичен анализу непрерывно изменяющегося во времени сигнала f(t).

Двумерный вектор, расположенный в двумерном пространстве, или, иначе говоря, на плоскости, соответствует какой-либо одной точке на этой плоскости. (Рис. 5.2).

Трёхмерный вектор соответствует одной точке в трёхмерном пространстве, а N - мерный вектор также соответствует одной точке, но N -мерного пространства (к сожалению, изобразить это мы не можем). Если представить пространство бесконечно большой размерности N, то можно предположить, что непрерывная функция f(t) соответствует одной точке этого пространства. Назовём это невидимое абстрактное пространство бесконечной размерности пространством функции.

При размерности векторного пространства N >2 также можно определить, расстояние между векторами и скалярное произведение. Более того, если рассуждать подобным образом, то же самое можно сделать и для пространства функций.

Давая определение расстоянию и скалярному произведению в пространстве функций, можно говорить о величине и угле между функциями.

Дата добавления: 2014-01-03