Математические операции с комплексными числами

Разложение в комплексный ряд Фурье

Сигналы, которые представляют физические величины и в дальнейшем подвергаются обработке, имеют значения из области действительных чисел (например, сигналы, регистрирующие напряжение, температуру, звуковое давление). Поэтому, если мы заведем разговор о комплексных числах, то, на первый взгляд, это покажется странным. Однако, если использовать разложение в ряд Фурье в комплексной форме, о чем речь пойдет ниже, то формула значительно упростится, так как в ней не будет тригонометрического ряда. К тому же в случае обработки сигнала, представленного комплексными числами, мы сможем использовать его представление непосредственно, без изменений. Более того, если язык программирования позволяет использовать комплексные числа, то программу можно записать в очень простом виде. Поэтому весьма полезно освоить разложение ряда Фурье в комплексной форме.

Комплексное число z выражается как

где j — мнимая единица, определяемая как

(5.6)

Наверное, читатель привык к обозначению мнимой единицы знаком i. Но дело в том, что этот знак используется для обозначения электрического тока.

Дальше будем применять следующие обозначения:

α — действительная часть комплексного числа z, β— его мнимая часть т.е.:

α = Re(z), β = lm(z).

На Рис. 5.6 показано изображение числа z на комплексной плоскости, где на оси абсцисс представлена его действительная часть, а на оси ординат — его мнимая часть. Величина |z|

называется абсолютной величиной, или модулем числа z, а

— его аргументом.

z

Re

Im

Комплексная плоскость

(Мнимая ось)

(Действительная ось)

Рис. 5.6. Комплексное представление чисел на плоскости

Комплексные числа z = α + jβ и = α – jβ называются сопряженными комплексными (Рис. 5.7).

Проверьте самостоятельно, что

Re

Im

Сопряженные комплексные числа

Рис. 5.7. Представление сопряженных комплексных чисел

Очевидно, что

Кстати, обратите внимание на то, что значения z² и |z²| отличны. Например, если z =j, т.е. α =0 и β = 1, то z²= -1, но |z²| = 1.

Пусть некоторая точка расположена на единичной окружности в комплексной плоскости так, что прямая, соединяющая ее с началом координат, образует с действительной осью угол, как показано на Рис. 5.8. Координаты этой точки можно выразить как

Известно, что

(5.7)

Эта формула называется формулой Эйлера, а e является основанием натурального логарифма и определяется следующим образом:

Im

-1

Re

-1

Формула Эйлера

Рис. 5.8. Графическая иллюстрация формулы Эйлера

На первый взгляд связь между е и тригонометрическими функциями в формуле Эйлера кажется странной. Однако, опуская подробности, разложим в ряд Тейлора каждую из функций cos и sin:

Аналогичным образом представим:

что и доказывает верность формулы Эйлера.

По определению, абсолютная величина для

а аргумент

Из этого следует, что произвольное комплексное число z (Рис. 5.9.) можно представить в виде:

- это, увеличенная в раз, поэтому  

Im

Re

Рис. 5.9. Выражение произвольного комплексного числа через модуль и аргумент

Дата добавления: 2014-01-03