Физические основы зрения

Физика зрения

Интегралы от квадратичных иррациональностей

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

Интегралы типа

При интегрировании используются следующие приемы:

1. Подстановка sin x = t, если n =2 k +1, k Z⁺.

2. Подстановка cos x = t, если m =2 k +1, k Z⁺.

3. Формулы понижения порядка:

,

,

,

если m =2 k, n =2 k, k Z⁺.

4. Подстановка tg x = t, если m + n =2 k, k Z^-.

Пример 3. Найти интеграл

.

Решение _▼

.

^▲

Пример 4. Найти интеграл

.

Решение _▼ m + n = –4.

.

^▲

Интегралы типа

1),

2),

3),

4),

5)

называются неопределенными интегралами от квадратичных иррациональностей (P_n (x) – алгебраический полином n ≥2).

Для нахождения интегралов 1) - 3) под радикалом выделяется полный квадрат

.

Затем делается подстановка

.

Пример 5. Найти интеграл

.

Решение _▼

.

.

Первый интеграл

.

Второй интеграл

.

.

^▲

Интегралы 4), т.е.

находятся по формуле Остроградского:

(1)

,

где Q_{n –1}(x) – полином степени n –1 с неопределенными коэффициентами; λ – число, подлежащее определению.

Для нахождения неопределенных коэффициентов и λ необходимо:

-продифференцировать формулу Остроградского по x;

-умножить обе части полученного равенства на;

-сравнить коэффициенты при одинаковых степенях x.

Пример 6. Найти интеграл

.

Решение _▼ По формуле (1)

.

Выполняем дифференцирование

.

Применяем метод сравнения коэффициентов:

;

.

Система линейных уравнений:

;; λ = 2.

.

^▲

Интегралы 5), т.е.

приводятся к интегралам 4) подстановкой

.

а) Устройство глаза.

Глаз, как оптическая система состоит из следующих элементов (рис. 49):

1. Склера – достаточно прочная внешняя белковая оболочка белого цвета, защищающая глаз и придающая ему постоянную форму.

2. Роговица – передняя часть склеры, более выпуклая и прозрачная, действующая как собирающая линза (оптическая сила Д ~ 40 дптр). Она обеспечивает 75 % фокусирующей способности глаза. Ее толщина 0,6–1 мм; показатель преломления n = 1,38;

3. Радужная оболочка с отверстием – зрачком (4).

Радужная оболочка представляет собой мышечное кольцо, окрашенное пигментом. Это кольцо, сжимаясь или растягиваясь, меняет размеры зрачка и тем самым величину светового потока, попадающего в глаз.

5. Хрусталик – природная прозрачная двояковыпуклая линза диаметром 8–10 мм, имеющая слоистую структуру (n = 1,41) (Д = 20–30 дптр.).

6. Циллиарная связка, которая может натягиваться и расслабляться, меняя радиусы кривизны поверхности хрусталика. Полость между роговицей и хрусталиком (передняя камера) заполнена водянистой влагой (n = n _воды) (Д = 2‑4 дптр.).

7. Стекловидное тело (задняя глазная камера) – это стекловидное вещество (n = n _воды) (Д = 6 дптр.). Роговица, передняя камера, хрусталик и стекловидное тело образуют оптическую систему, оптический центр которой находится на расстоянии ~ 5 мм от роговицы (фокусное расстояние F = 17,2 мм).

8. Сосудистая оболочка. Ей с внутренней стороны выстлана склера. Это темные пигментные клетки, препятствующие рассеянию света в глазу.

9. Сетчатка – представляет собой полусферу, состоящую из рецепторных клеток, которые образуются при разветвлении зрительного нерва, а нервные окончания имеют вид колбочек и палочек. Колбочки и палочки – это светочувствительный слой, который служит для различения мелких деталей и восприятия цвета. Палочек 120‑125 млн.; колбочек 6 - 10 млн. С помощью палочек человек различает предметы в сумерки и ночью. Диаметр палочек 2 мкм, длина 6 мкм. Диаметр колбочек 7 мкм, длина около 35 мкм. В средней части сетчатки преобладают колбочки, а по краям палочки.

10. Зрительный нерв – он, разветвляясь, образует светочувствительный слой – сетчатку.

11. Слепое пятно – место, где зрительный нерв входит в глаз. Здесь нет ни колбочек, ни палочек. Свет попадающий на эту область не вызывает ощущений.

12. Центральная ямка – область наибольшей остроты зрения. Область вокруг центральной ямки называется желтым пятном. Человек видит ясно те предметы, изображение которых проецируется на желтое пятно.

Роговицу и открытую часть глаза защищает коньюктива – наружная оболочка глаза.

На желтое пятно проецируются изображения, охватывающие по горизонтали 8°, а по вертикали 6°, на центральную ямку ~ 1‑1,5°. Общее поле зрения глаза ~ 120–150°. Общая оптическая сила глаза в покое 60 дптр. При напряжении > 70 дптр.

Глаз как оптическую систему характеризуют следующими параметрами:

б) Аккомодация – приспособление глаза к четкому видению различно удаленных предметов.

В норме при приближении предмета к глазу на расстояние до 25 см аккомодация совершается без существенного напряжения. Это расстояние называется расстоянием наилучшего зрения.

в) Адаптация – способность глаза приспосабливаться к различным яркостям. Светочувствительность глаза изменяется в широких пределах.

г) Угол зрения – это угол между лучами, идущими от крайних точек предмета через оптический центр глаза. Наименьший угол зрения – угол, при котором человеческий глаз еще различает две точки предмета раздельно.

д) Предел разрешения – наименьшее расстояние между двумя точками предмета, рассматриваемого с расстояния наилучшего зрения, при котором они различимы как отдельные объекты. В норме это 75 мкм.

е) Острота зрения – медицинский показатель – показывает величину, обратную наименьшему углу зрения () (в угловых минутах). ; Для нормального зрения острота равна 1. То есть наименьший угол зрения = 1'. На практике остроту зрения определяют по специальной таблице.

Дата добавления: 2014-01-03