Центры тяжести некоторых простейших фигур

1. Центр тяжести площади треугольника. Найдем центр тяжести тонкой однородной треугольной пластинки А₁А₂А₃ (рис.9.8).

Рис.9.8.

Разобьем площадь треугольника прямыми, параллельными основанию А₁А₃, на большое число очень узких полосок. Каждую такую полоску, можно рассматривать как прямолинейный отрезок. Следовательно, центр тяжести каждой полоски находится в ее середине. Но средние точки всех полосок расположены на одной прямой, т.е. на медиане А₂М₂. Т.о. центр тяжести площади треугольника совпадает с точкой пересечения его медиан. Так как точка пресечения медиан делит каждую медиану в отношении 2/1, следовательно, центр тяжести площади треугольника лежит на одной из его медиан на расстоянии 2/3 этой медианы от вершины треугольника. Если обозначим координаты вершин данного треугольника через (х₁, у₁) (х₂,у₂) (х₃,у₃), а координаты центра тяжести х_С и у_С, то координаты центра тяжести будут равны,

2. Центр тяжести площади многоугольника. Чтобы найти центр тяжести площади какого-нибудь многоугольника А₁А₂А₃А₄А₅ (рис.9.9), координаты вершин которого известны, разобьем данный многоугольник диагоналями на три треугольника А₁А₂А₃, А₁А₃А₄ и А₁А₄А₅. Площади треугольников обозначим соответственно S₁, S₂ и S₃, а их центры тяжести через С₁(х_С1, у_С1), С₂(х_С2,у_С2) и С₃(х_С3,у_С3).

Зная координаты вершин нетрудно вычислить площадь треугольников и координаты центров тяжести:

, аналогично получают координаты у.

Подставляя в формулу центра тяжести однородной плоской фигуры, получим: и

3. Центр тяжести дуги окружности. Найти центр тяжести дуги АВ окружности радиуса R с центром в точке О рис.9.9.

рис.9.9.

Центр тяжести С лежит на оси симметрии дуги АВ, т.е. на радиусе перпендикулярном к хорде АВ. Найти расстояние ОС. Вращая дугу АВ вокруг оси параллельной хорде АВ, получим поверхность АВВ₁А₁, представляющую собой часть поверхности шара и называемую шаровым поясом. Площадь этой поверхности равна. На основании первой теоремы Гюльдена. Откуда

Если обозначим половину центрального угла дуги АВ, измеряемого в радианах, через α, то и, следовательно,

4. Центр тяжести кругового сектора. Необходимо найти положение центра тяжести кругового сектора ОАВ радиуса R (рис.9.10). Обозначим половину центрального угла этого сектора через α. Искомый центр тяжести С лежит на оси симметрии данного сектора, т.е. на биссектрисе угла АОВ. Надо найти расстояние ОС. Разделим дугу АВ на n малых равных частей и точки деления соединим с центром О.

Тогда данный сектор разделится на n равных секторов. Рассмотрим сектор Оав. Приближенно его можно принять за треугольник. Следовательно, его центр тяжести лежит на радиусе делящим угол аОв пополам, на расстоянии 2/3R от точки О. В этих центрах приложены веса р_i элементарных секторов.

Рис.9.10.

Следовательно, центр тяжести С сектора АОВ совпадает с центром тяжести системы параллельных сил, приложенных вдоль дуги А₁В₁, т.е задача сводится к нахождению центра тяжести однородной дуги А₁В₁, решенной в предыдущем примере. Поэтому

5. Центр тяжести призмы. Чтобы найти центр тяжести однородной призмы с основанием А₁А₂А₃А₄А₅ (рис.9.11), разобьем всю призму на большое число весьма тонких пластинок плоскостями параллельными основанию, проведенных на равных малых расстояниях друг от друга.

Рис.9.11.

Эти пластинки можно считать плоскими многоугольниками. Центры тяжести этих многоугольников лежат на одной прямой С₁С₂, соединяющей центры тяжести нижнего и верхнего оснований призмы. Следовательно, искомый центр тяжести совпадает с центром системы параллельных сил р_i, равных между собой и приложенных в точках, находящихся на прямой С₁С₂. Поэтому центр тяжести однородной призмы находится в середине отрезка, соединяющего центры тяжести нижнего и верхнего оснований этой призмы.

6. Центр тяжести пирамиды. Рассмотрим однородный тетраэдр, т.е. однородную треугольную пирамиду А₁А₂А₃А₄ (рис.9.12). Плоскостями параллельными основанию, разобьем пирамиду на множество тонких треугольных пластинок, которые можно считать плоскими треугольниками.

Рис.9.12.

Центры тяжести этих подобных треугольников лежат на одной прямой соединяющей вершину А₄ пирамиды с центром тяжести ее основания (точкой М пересечения медиан треугольника А₁А₂А₃. Следовательно, на этой прямой лежит центр тяжести данной пирамиды. Аналогично разбивая данную пирамиду плоскостями параллельными грани А₂А₃А₄, получим, что ее центр тяжести лежит на прямой А₁К, причем К – центр тяжести треугольника А₂А₃А₄, т.е. точка пересечения его медиан, а потому искомый центр тяжести пирамиды находится в точке пересечения прямых А₄М и А₁К. Найдем расстояние МС. По свойству медиан треугольника имеем:

и. Так как МК‖А₁А₄ и МК=1/3А₁А_4. Из подобия треугольников следует, что или 3МС=СА₄. Но МС+СА₄=МА₄, поэтому;4МС=МА₄, следовательно, МС=1/4МА₄.

Центр тяжести однородной пирамиды лежит на отрезке, соединяющим вершину пирамиды с центром тяжести ее основания, расстоянии ¼ этого отрезка от центра тяжести основания пирамиды.

Рассматривая конус как предел вписанных в него пирамид, на основании предыдущего результата можно сделать вывод, что центр тяжести однородного конуса лежит на отрезке, соединяющем вершину конуса с центром тяжести его основания, на расстоянии ¾ этого отрезка от вершины конуса.

Дата добавления: 2014-01-03