Предельная нагрузка при изгибе балки из упругопластического материала. Подбор сечения

Практический интерес представляет задача об определении несущей способности балки, т.е. вычисление предельной нагрузки, которую она может выдержать. Рассмотрим ее определение в случае плоского изгиба.

Для хрупкого материала, работающего вплоть до самого момента разрушения почти линейно упруго (рис. 9.4,а) предельная нагрузка определяется из формулы

,

,

(9.7)

где - временное сопротивление (предел прочности) материала.

Сложнее обстоит дело с упругопластическим материалом. В целях упрощения задачи для материала балки примем в качестве расчетной диаграмму Прандтля (рис 9.4,б).

Пока напряжения материал работает линейно-упруго и применима формула (9.1). При достижении в крайних точках опасного сечения напряжений возникает текучесть и продольное волокно в этих точках деформируется при постоянных напряжениях .

Рис. 9.4 Диаграмма напряжений, материал хрупкий. Упругопластическая работа материала, диаграмма Прандтля

Рассмотрим стадии развития деформаций, возникающие в балке, с ростом нагрузки вплоть до исчерпания несущей способности (рис.9.5).

При постепенном возрастании внешней силы упругая стадия работы заканчивается, когда в крайних точках опасного сечения возникают напряжения равные пределу текучести.

,

,

,

(9.8)

где - нагрузка начала текучести.

При дальнейшем росте силы наступает упругопластическая стадия работы балки. Зона текучести будет расширяться от указанных крайних точек, а эпюра напряжений будет трансформироваться ().

Когда внешняя сила станет равной предельной , эпюра напряжений переходит в ступенчатую эпюру с ординатами .

Рис.9.5 Образование пластического шарнира в балке

Состояние сечения, когда во всех его точках развиваются пластические деформации, называют пластическим шарниром.

При этом балка превращается в механизм, продолжающий увеличивать прогибы при постоянной внешней нагрузке . Такое состояние называется пластическим механизмом. - нагрузка образования пластического механизма. При разгрузке балки образуется остаточный прогиб .

В поперечном сечении, где образовался пластический шарнир, внутренний момент обозначим и назовем его пластическим предельным моментом.

Выразим через предельную нагрузку

(9.9)

Таким образом, в опасном сечении балки напряженное состояние проходит три стадии: линейно-упругая (); упругопластическая (); чисто пластическая ().

Определим величину пластического предельного момента. Пусть поперечное сечение балки имеет одну ось симметрии (рис. 9.6).

Рис. 9.6 Пластический шарнир в несимметричном сечении

При работе балки в линейно-упругой стадии нейтральная линия совпадает с осью z. В общем случае при образовании пластического шарнира нейтральная линия смещается от центра тяжести сечения С.

Всё сечение делиться на две части:

1) площадью , где действуют растягивающие напряжения и соответствующая продольная сила ;

2) площадью , где действуют напряжения сжатия и соответствующая продольная сила ;

Так как суммарная продольная сила в сечении при поперечном изгибе равна нулю, то из этого условия следует:

,

.

(9.10)

При образовании пластического шарнира нейтральная линия делит площадь поперечного сечения на две равновеликие части.

И сходя из вида эпюры нормальных напряжений (рис 9.6,б), внутренний моментнайдем по формулам:

,

(9.11)

где - статические моменты растянутой и сжатой частей сечения (взятые по абсолютной величине):

,

.

(9.12)

Геометрическая характеристика

(9.13)

называется пластическим моментом сопротивления.( - момент сопротивления в упругой стадии).

Таким образом, выражение для предельного момента имеет вид

(9.14)

Обозначим через коэффициент, показывающий во сколько раз должна возрасти нагрузка от момента появления текучести в балке до полного исчерпания ею несущей способности . С учетом формул (9.8), (9.14) получим

(9.15)

Если сечение имеет две оси симметрии, то

,

(9.16)

где - статистический момент половины поперечного сечения.

Для прямоугольного сечения

(9.17)

Для круглого сечения =1,7. Для двутавра =1,17.

В общем, можно заметить, чем рациональнее форма сечения по обычной оценке напряжений, тем ближе значение к и тем меньше различие между расчетами по напряжениям и по предельным нагрузкам.

Формула для подбора поперечного сечения балки из пластичного материала имеет вид

(9.18)

Дата добавления: 2014-01-03