Интегрирование рациональных дробей

Интегрирование рациональных дробей.

Лекция №9.

Перечень обязательных вопросов для изучения

	Тема 1.10. Трансмиссия автомобилей Назначение трансмиссии. Общее устройство трансмиссий: -механический и их схемы; -гидромеханических; -электрических; -гидрообъемных. Назначение узлов трансмиссии.	Знать. Знать схемы механических, принцип действия и применение остальных.   Знать значение всех узлов разных компоновок.
	Тема 1.11. Сцепление Назначение сцепления. Устройство сцепления с периферийным расположением пружин: -ведущая часть; -ведомая часть; -детали включения (замыкания ведущей и ведомой части); -механизм выключения. Работа сцепления (порядок выключения от педали до нажимного диска). Устройство работы гидропривода сцепления. Устройство и работа сцепления с диафрагменной пружиной. Принцип действия электромагнитного сцепления.	Знать. Перечислить отдельно детали всех частей, их взаимосвязь.   Понять и объяснить.   Знать что входит и как работает. Выявить особенности.   Понять и объяснить.

Волгодонск

Выражения вида, где а - вещественное, k, l - натуральные числа, а квадратный трехчлен не имеет действительных корней, назовем простейшими сомножителями.

Известна основная теорема алгебры: любой многочлен степени n можно разложить в произведение простейших сомножителей:

= (4)

где -число;

Дроби вида, где k, l - натуральные числа,

- простейший сомножитель, будем называть простейшими рациональными дробями.

Определение. Дробь называется правильной, если (здесь

m и n степени многочленов, стоящих в числителе и в знаменателе, соответственно. Если m≥n, дробь называется неправильной.

Каждую неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби:.

Можно доказать следующую теорему.

Теорема. Любая правильная рациональная дробь, где многочлен, определённый равенством (4), может быть представлена в виде суммы простейших рациональных дробей (m и n-степени многочленов, стоящих в числителе и знаменателе соответственно). Эта сумма строится следующим образом в два этапа:

1) каждый простейший множитель вида порождает следующую сумму из слагаемых:;

2) каждый сомножитель вида порождает следующую сумму из слагаемых:

В результате мы получим следующее разложение правильной дроби на простейшие: = +...+

...+

(5)

Считая в дальнейшем, что коэффициент при старшей степени у многочлена равен единице, на примерах решения задач покажем, как используется сформулированная теорема на практике.

Пример: Разложить дробь на простейшие дроби.

Решение: Разложим знаменатель на простейшие сомножители:.

Тогда;

Две дроби, имеющие одинаковые знаменатели, равны, значит равны их числители, то есть.

Два многочлена тождественно равны тогда, когда у них совпадают коэффициенты при одинаковых степенях, следовательно, можно записать следующую систему уравнений:

.

Решая ее, находим, что

Окончательно положим.

Пример: Разложить дробь на простейшие дроби. Решение: Разложим дробь на простейшие:

Тогда

Как и в предыдущей задаче, составим систему уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов:

Отсюда

Следовательно,.

Из разложения (5) следует, что интегрирование правильных рациональных дробей сводится к интегрированию простейших дробей.

Пример: Найти.

Решение: Поскольку рациональная дробь, стоящая под знаком интеграла, является неправильной, то представим ее в виде суммы многочлена и правильной дроби (для этого достаточно найти частное и остаток от деления числителя на знаменатель).

Тогда Разложим дробь на простейшие дроби:

;

Отсюда

Следовательно,

Но тогда: =

Дата добавления: 2014-01-03