Общие сведения о гармонических колебаниях

Линейные цепи при гармоническом воздействии

Сигнал называется гармоническим, если мгновенные значения его величины

S(t) изменяются во времени по закону:

Этот сигнал иллюстрируется кривой, изображенной на рисунке 1.20.

Гармонический сигнал характеризуют:

n₀ - амплитуда колебания, равная максимальному отклонению сигнала от среднего значения;

Т - период колебания, равный временному интервалу между двумя соседними максимумами;

Рис. 1.20 Гармонический сигнал

f₀ = 1/T - частота колебания, измеряется в Гц, кГц, МГц;

w₀ = 2pf₀ = 2p/T -угловая частота колебания;

t₀ - временной сдвиг сигнала относительно начала отсчета,

w₀ = (2p/T) t₀ = w₀ t₀ - начальная фаза сигнала или фазовый сдвиг

сигнала относительно начала отсчета.

Если воздействие на линейную цепь имеет вид одного или нескольких гармонических сигналов одинаковой частоты, то в стационарном режиме отклик на такое воздействие так же имеет характер гармонического сигнала той же частоты - принцип суперпозиции.

Среднее значение за период гармонического сигнала (u(t) или i(t), а в общем случае S(t)) равно:

Энергия, выделяемая на резисторе за период Т, равна:

Действующие значения тока или напряжения:

Для упрощения анализа и расчета цепей переменного тока целесообразно использовать векторное представление сигналов.

При этом реальный сигнал представляет собой проекцию на веществен­ную ось вращающегося в комплексной плоскости с угловой частотой радиус -вектора длиной, равной амплитуде n₀ сигнала (рисунок 1.21).

Рис. 1.21 Векторное представление гармонического сигнала

Считается, что при положительной частоте w₀ вектор вращается против часовой стрелки.

Начальное угловое положение вектора j₀ wсоответствует начальной фазе сигнала.

Если требуется сложить два гармонических сигнала одинаковой частоты с разными фазами:

то результат следует из тригонометрических преобразований для векторного сложения:

Для аналитических расчетов используют не векторное, а комплексное представление гармонических сигналов:

Комплексное число v₀ • exp(j • j₀), не зависящее от времени называется комплексной амплитудой гармонического сигнала:

Тогда комплексный сигнал:

Комплексное представление сигналов позволяет значительно облегчить расчеты цепей переменного тока, так как обладает следующими свойствами:

1. Сложение гармонических сигналов.

Если есть два сигнала:

то их можно представить в комплексной форме:

2. Умножение сигнала на константу.

Если

то

т.е.

Умножение комплексного сигнала на ±j соответствует сдвигу

вещественного сигнала по фазе на ± p/2, так как:

Умножение комплексного сигнала на ехр(±p/2) приводит к

изменению фазы вещественного сигнала на ± p/2

3. Дифференцирование сигналов.

Если во временной области выполняется соотношение:

и справедливо представление в комплексной форме

S_K2(t) => S₂(t); S_K1(t)=> S,(t), т.e.

то справедливо соотношение

тогда справедливо:

Следовательно, операция дифференцирования гармонических сигналов

во временной области может быть заменена операцией умножения на j-w в

комплексной.

Очевидно, что

4. Интегрирование сигналов.

Если во временной области справедливо соотношение:

и в комплексной форме представления

то

Следовательно, интегрирование гармонического сигнала во временной области может быть заменено операцией деления комплексной амплитуды этого сигнала на j-w₀ в комплексной.

Дата добавления: 2014-01-03