Прямая и обратная задачи оптимизации индивидуального спроса

Тема 1. Полезность блага и индивидуальный спрос

1. Прямая и обратная задачи оптимизации индивидуального спроса.

2. Взаимосвязь функций полезности, потребительских расходов и косвенной функции полезности. Обыкновенная и скомпенсированная кривые спроса.

3. Аксиомы выявленных предпочтений.

Теория потребительского поведения исследует оптимальный потребительский выбор в зависимости от его дохода и товарных цен. Функции спроса потребителя представляют оптимальные количества каждого из товаров как функцию цен и дохода, заданных потребителю. Такие функции спроса называют обыкновенными или маршалловскими. Запишем функции спроса в виде

Q_x = f 1 (P_x, P_y, I),

Q_y = f 2 (P_x, P_y, I).

Изучение реакции потребительского спроса на изменения в экономической среде известно как сравнительная статика. «Сравнительная» означает, что мы хотим сравнить две ситуации – до и после изменений в экономической среде, «статика» – что нас не интересуют никакие процессы установления равновесия, которые могли бы быть связаны с переходом от одного потребительского выбора к другому; мы будем, напротив, исследовать лишь выбор в положении равновесия. В нашей модели имеются только два фактора, оказывающих воздействие на оптимальный потребительский выбор: цены и доход. Поэтому, круг вопросов, относящихся к сравнительной статике, включает исследование изменений в спросе при изменении цен и дохода.

Так, если считать цены на товары X и Y постоянными и проследить изменения в спросе, например, на товар X по мере изменения дохода, то мы построим кривую, известную как кривая Энгеля. Кривая Энгеля – это график спроса на один из товаров, представленного как функция дохода, при предпосылке о неизменности всех цен (рис. 1.1). Рассмотрим некоторые частные случаи данной кривой.

Если товары X и Y представляют собой совершенные субституты (абсолютные заменители друг друга), то потребляться будет только тот из них, цена которого ниже. Следовательно, кривая «доход-потребление» сольется с горизонтальной осью (рис. 1.2), а кривая Энгеля будет прямой линией с наклоном P_x (функция спроса на товар X принимает вид Q_x = I / P_x или I = P_x × Q_x).

Если товары X и Y представляют собой совершенные комплементы (дополняют друг друга), то потребляться они будут в жестко фиксированной пропорции. Кривая «доход-потребление» является в данном случае лучом, выходящим из начала координат (рис. 1.3), а кривая Энгеля – прямой с наклоном P_x + P_y.

В случае предпочтений Кобба-Дугласа (когда функция полезности выражена как U = Q_x^aQ_y ^{1 - a}), функция спроса на товар X имеет вид Q_x = aI / P_x. Для постоянного значения P_x это будет линейная функция дохода I. Фактически увеличение дохода в n раз приведет к увеличению спроса также в n раз. Функция спроса на товар Y имеет вид Q_y = (1– a) I / P_y, и она также линейна. Кривая Энгеля для товара X является прямой с наклоном P_x / a.

В трех рассмотренных примерах предпочтения потребителя гомотетичны, т.е. если потребитель предпочитает набор (Q_{x 1}; Q_{y 1}) набору (Q_{x 2}; Q_{y 2}), то он предпочтет и набор в котором в n раз больше обоих товаров (nQ_{x 1}; nQ_{y 1}) набору (nQ_{x 2}; nQ_{y 2}) при любом положительном n. Если предпочтения являются гомотетичными, то кривые «доход-потребление» всегда представляют собой прямые линии, а кривые Энгеля – лучи, исходящие из начала координат.

Квазилинейными называются предпочтения, при которых функция полезности линейна для одного товара, но не линейна для другого, в результате чего каждая следующая кривая безразличия представляет собой вертикально смещенную копию предыдущей (рис. 1.5). В этом случае, если одна кривая безразличия касается бюджетной линии в точке (Q_{x 1}; Q_{y 1}), то следующая кривая безразличия должна касаться бюджетной линии в точке (Q_{x 1}; Q_{y 1}+ k) при любом постоянном расстоянии между этими кривыми k. Следовательно рост дохода совершенно не изменяет спроса на товар X, и весь добавочный доход идет на потребление товара Y (нулевой эффект дохода по товару X). Следовательно, кривая Энгеля для товара X, начиная с определенного уровня дохода, есть вертикальная линия.

Функция спроса на товар от его цены при заданных значениях дохода и цены другого потребляемого товара строится на основании кривой «цена-потребление» (рис. 1.6).

Кривая «цена-потребление» и кривая спроса для совершенных субститутов изображены на рис. 1.7. Спрос на товар X равен нулю, когда его цена больше цены товара-заменителя Y, абсолютно эластичен, когда цены двух товаров равны, и равен I / P_x, когда P_x< P_y.

Случай совершенных комплементов изображен на рис. 1.8. каковы бы ни были цены, потребитель будет предъявлять спрос на одинаковое количество товаров X и Y. Кривая «цена-потребление», таким образом, представляет собой луч, исходящий из начала координат, а кривая спроса на каждый из товаров (например, на товар X) имеет классическую форму.

Предположим теперь, что X – дискретный товар, т.е. товар, который можно приобретать только в неделимых количествах. Предпочтения потребителя в этом случае выражены не непрерывными кривыми безразличия, а лишь отдельными точками этих кривых (рис. 1.9).

Если цена дискретного товара X очень высока, потребитель предпочтет не потреблять ни одной единицы этого товара; если же цена достаточно низка, потребитель предпочтет потреблять ровно одну единицу X. При некоторой цене P_{r 1} потребителю будет безразлично, потреблять товар X или нет. Такая цена называется резервной ценой. По рис. 1.9 видно, что кривая спроса в данном случае описывается рядом резервных цен, по которым потребитель готов купить еще одну единицу товара. В каждом случае резервная цена показывает прирост полезности, необходимый для того, чтобы побудить потребителя купить дополнительную единицу товара (другими словами, резервные цены как бы измеряют предельные полезности, связанные с потреблением товара). Резервные цены снижаются в соответствии с законом убывающей предельной полезности.

Итак, в большинстве случаев (исключение – товары Гиффена) функция спроса на товар от его цены является нисходящей.

Обратной называется такая функция спроса, которая представляет цену как зависимость от количества потребляемого товара (P_x = f (Q_x)). Обратная функция спроса количественно выражает ту же самую зависимость, что и прямая, но с другой точки зрения. Таким образом, на рис. 1.6 (б) изображены и прямая, и обратная функции спроса.

В состоянии равновесия MRS_xy = P_x / P_y или P_x = P_y×MRS_xy. То есть обратная функция спроса показывает, от какого количества товара Y готов отказаться потребитель ради увеличения потребления товара X, скажем, на одну единицу. Если предположить, что товар Y – это деньги на покупку всех остальных товаров, то обратная функция спроса на товар X показывает предельную готовность покупателя платить за товар X, которая убывает по мере увеличения потребленного количества этого товара.

Дата добавления: 2014-01-03