Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Ряды Тейлора. Условия разложимости функции в ряд Тейлора

Пусть функция имеет в точке и некоторой её окрестности производные [1] Тогда этой функции можно поставить в соответствие степенной ряд

 

Этот ряд называется рядом Тейлора, построенным по функции Возникают следующие естественные вопросы:

1) при каких условиях на функцию ряд сходится и какова область его сходимости?

2) при каких условиях на функцию ряд сходится именно к функции по которой он строится?

На первый вопрос можно ответить, применяя к признаки сходимости степенных рядов. Второй вопрос кажется странным (разве может он сходиться не к функции?). Однако ничего странного в нем нет, так как существуют функции, ряды Тейлора которых сходятся к другим функциям. Рассмотрим, например, функцию

 

График этой функции указан ни рисунке. Эта функция не равна тождественно нулю в любой окрестности точки Однако её ряд Тейлора имеет вид Действительно,

.

Он, очевидно, сходится к функции в любой окрестности точки Следовательно, ряд Тейлора этой функции не сходится к ней. Посмотрим, какие следует наложить ограничения на функцию чтобы её ряд сходился именно к ней.

Запишем для неё формулу Тейлора:

 

где точка находится между и Из нее очевидным образом вытекает следующее утверждение.

Теорема 5 (необходимое и достаточное условие разложимости функции в свой ряд Тейлора). Для того чтобы функция разлагалась в ряд,сходящийся в окрестности именно к необходимо и достаточно, чтобы остаточный член ее формулы Тейлора стремился к нулю, т.е.

Однако эта теорема носит теоретический характер. Прикладной характер имеет следующее утверждение.

Теорема 6 (достаточные условия разложимости функции в свой ряд Тейлора). Пусть функция, т.е. является бесконечно дифференцируемой в окрестности точки Если все ее производные ограничены одной и той же константой в этой окрестности:, то ряд Тейлора этой функции сходится в указанной окрестности именно к (в этом случае говорят, что разложима в ряд Тейлора в окрестности).

Доказательство этой важной теоремы мы проведем на следующей лекции, а так же дадим обоснование выписанных ниже формул Маклорена-Тейлора (заметим, что если в ряде центр раложения то его называют рядом Маклорена-Тейлора).

 

 

Таблица 1. Разложения основных элементарных функций в степенные ряды

 

 

 


[1] В этом случае говорят, что функция бесконечно дифференцируема в окрестности.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Степенные ряды. Теорема Абеля, радиус и интервал сходимости. Непрерывность суммы степенного ряда. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда | Понятие таможенных органов РФ, их правовой статус и компетенция
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 1123; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.01 сек.