Тригонометрическая форма рядов Фурье

Объединяя в (4.1) комплексно сопряженные составляющие (члены ряда, симметричные относительно центрального члена ряда S₀), можно перейти к ряду Фурье в тригонометрической форме:

s(t) = А_о+2(A_n cos(nDwt) + B_n sin(nDwt)), (4.6)
s(t) = А_о+2R_n cos(nDwt + j_n). (4.6')

Значения A_n, B_n вычисляются по формулам (4.4-4.5), значения R_n и j_n - по (4.3').

Ряд (4.6) представляют собой разложение периодического сигнала s(t) на сумму вещественных элементарных гармонических функций (косинусных и синусных) с весовыми коэффициентами, удвоенные значения которых (т.е. значения 2A_n, 2B_n) не что иное, как реальные амплитуды соответствующих гармонических колебаний с частотами nDw. Совокупность амплитудных значений этих гармоник образует односторонний физически реальный (только для положительных частот nDw) спектр сигнала. Для сигнала на рис. 4.1, например, он полностью повторяет правую половину приведенных на рисунке спектров с удвоенными значениями амплитуд (за исключением значения А_о на нулевой частоте, которое, как это следует из (4.6), не удваивается). Но такое графическое отображение спектров используется довольно редко.

В технических приложениях более широкое применение для отображения физически реальных спектров находит формула (4.6'). Спектр амплитуд косинусных гармоник 2R_n при таком отображении называется амплитудно-частотным составом сигнала, а спектр фазовых углов гармоник – фазовой характеристикой сигнала. Форма спектров повторяет правую половину соответствующих двусторонних спектров (см. рис. 4.2) также с удвоенными значениями амплитуд. Для четных сигналов отсчеты фазового спектра могут принимать только значения 0 или p, для нечетных соответственно ±p/2.

На рис. 4.4 показано разложение в комплексный ряд Фурье модельного сигнала, выполненное в среде Mathcad. Модель сигнала задана с тремя разрывами первого рода (скачками). Любой скачок функции содержит все частоты диапазона до бесконечности, в связи с чем ряд Фурье также бесконечен и очень медленно затухает. На рисунке приведены значения только первых 100 членов ряда, при этом график спектра сигнала, как это обычно принято на практике, построен в виде огибающей значений модулей коэффициентов ряда S_n и только по области положительных значений n.

Программа на рис. 4.5 продолжает программу рис. 4.4 и показывает реконструкцию сигнала по его спектру при ограничении числа членов ряда Фурье.

Рис. 4.4. Разложение сигнала в комплексный ряд Фурье

Рис. 4.5. Реконструкция сигнала (продолжение программы на рис. 4.4)

На верхнем графике рисунка приведен реконструированный сигнал при N = 8 (гармоники первого пика спектра, центр которого соответствует главной гармонике сигнала и члену ряда n = w_s/Dw), N = 16 (гармоники двух первых пиков) и N=40 (пять первых пиков спектра). Естественно, что чем больше членов ряда включено в реконструкцию, тем ближе реконструированный сигнал к форме исходного сигнала.

Дата добавления: 2014-01-03