Система вычетов: Zn

Решение

Мы ищем вычет r. Мы можем разделить a на n и найти q и r. Далее можно игнорировать q и сохранить r.

а. Разделим 27 на 5 - результат: r = 2. Это означает, что 27 mod 5 = 2.

б. Разделим 36 на 12 — результат: r = 0. Это означает, что 36 mod 12 = 0.

в. Разделим (–18) на 14 — результат: r = –4. Однако мы должны прибавить модуль (14), чтобы сделать остаток неотрицательным. Мы имеем r = –4 + 14 = 10. Это означает, что –18 mod 14 = 10.

г. Разделим (–7) на 10 — результат: r = –7. После добавления модуля –7 мы имеем r = 3. Это означает, что –7 mod 10 = 3.

Результат операции по модулю n — всегда целое число между 0 и n - 1. Другими словами, результат a mod n — всегда неотрицательное целое число, меньшее, чем n. Мы можем сказать, что операция по модулю создает набор, который в модульной арифметике можно понимать как систему наименьших вычетов по модулю n, или Z_n. Однако мы должны помнить, что хотя существует только одно множество целых чисел (Z), мы имеем бесконечное число множеств вычетов (Z_n), но лишь одно для каждого значения n. Рисунок показывает множество Z_n и три множества Z₂, Z₆ и Z₁₁.