Введение. Физические величины макромира, как основного объекта наших измерений и источника информационных сигналов

Физические величины макромира, как основного объекта наших измерений и источника информационных сигналов, как правило, имеют непрерывную природу и отображаются непрерывными (аналоговыми) сигналами. Цифровая обработка сигналов (ЦОС или DSP - digital signal processing) работает исключительно с дискретными величинами, причем с квантованием как по координатам динамики своих изменений (по времени, в пространстве, и любым другим изменяемым параметрам), так и по амплитудным значениям физических величин. Математика дискретных преобразований зародилась в недрах аналоговой математики еще в 18 веке в рамках теории рядов и их применения для интерполяции и аппроксимации функций, однако ускоренное развитие она получила в 20 веке после появления первых вычислительных машин. В принципе, в своих основных положениях математический аппарат дискретных преобразований подобен преобразованиям аналоговых сигналов и систем. Однако дискретность данных требует учета этого фактора, а его игнорирование может приводить к существенным ошибкам. Кроме того, ряд методов дискретной математики не имеет аналогов в аналитической математике.

Стимулом быстрого развития дискретной математики является и то, что стоимость цифровой обработки данных ниже аналоговой и продолжает падать, даже при очень сложных ее видах, а производительность вычислительных операций непрерывно возрастает. Немаловажным является также и то, что системы ЦОС отличаются высокой гибкостью. Их можно дополнять новыми программами и перепрограммировать на выполнение различных функций без изменения оборудования. В последние годы ЦОС оказывает постоянно возрастающее влияние на ключевые отрасли современной промышленности: телекоммуникации, средства информации, цифровое телевидение и пр. Следует ожидать, что в обозримом будущем интерес и к научным, и к прикладным вопросам цифровой обработке сигналов будет нарастать во всех отраслях науки и техники.

1.1. ПРЕДИСЛОВИЕ К ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКЕ СИГНАЛОВ [1i].

Цифровые сигналы формируются из аналоговых операцией дискретизации – последовательными отсчетами (измерением) амплитудных значений сигнала через интервалы времени Dt. В принципе известны методы ЦОС для неравномерной дискретизации данных, однако области их применения достаточно специфичны и ограничены. Условия, при которых возможно полное восстановление аналогового сигнала по его цифровому эквиваленту с сохранение всей исходно содержавшейся в сигнале информации, выражаются теоремами Найквиста, Уиттекера, Котельникова, Шеннона, сущность которых практически одинакова. Для дискретизации аналогового сигнала с полным сохранением информации в его цифровом эквиваленте максимальные частоты в аналоговом сигнале должны быть не менее чем вдвое меньше, чем частота дискретизации, то есть f_max £ (1/2)f_d. Если это условие нарушается, в цифровом сигнале возникает эффект маскирования (подмены) действительных частот "кажущимися" более низкими частотами. Наглядным примером этого эффекта может служить иллюзия, довольно частая в кино – вращающееся колесо автомобиля вдруг начинает вращаться в противоположную сторону, если между последовательными кадрами (аналог частоты дискретизации) колесо совершает более чем пол-оборота. При этом в цифровом сигнале вместо фактической регистрируется "кажущаяся" частота, а, следовательно, восстановление фактической частоты при восстановлении аналогового сигнала становится невозможным.

Преобразование сигнала в цифровую форму производится аналого-цифровыми преобразователями (АЦП). Как правило, они используют двоичную систему представления при равномерной шкале с определенным числом разрядов. Увеличение числа разрядов повышает точность измерений и расширяет динамический диапазон измеряемых сигналов. Потерянная из-за недостатка разрядов АЦП информация невосстановима, и существуют лишь оценки погрешности, например, через мощность шума, порожденного ошибкой в последнем разряде. Для того чтобы оценить влияние помехи, вводится понятие “отношение сигнал-шум” - отношение мощности сигнала к мощности шума (в децибелах).

Наиболее часто используются 8-, 10-, 12-, 16-, 20- и 24-х разрядные АЦП. Каждый дополнительный разряд улучшает отношение сигнал-шум на 6 децибел. Однако увеличение количества разрядов снижает скорость дискретизации и увеличивает стоимость аппаратуры. Важным аспектом является также динамический диапазон, определяемый максимальным и минимальным значением сигнала. Для обратного преобразования используется цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП), основные характеристики которого (разрядность, частота дискретизации, число каналов и т.п.) аналогичны характеристикам АЦП.

Для компенсации ошибки, порожденной неточной дискретизацией, существуют определенные методы. Например, усредняя по нескольким реализациям, можно добиться выделения даже сигнала, меньшего в несколько десятков раз по амплитуде по сравнению с ошибкой дискретизации. Иногда используется и искусственное привнесение помехи (при обработке звука – слабый гауссовский шум для маскирования шума квантования и воспринимающийся на слух приятнее “точного” сигнала).

Обработка цифровых сигналов выполняется либо специальными процессорами, либо на универсальных ЭВМ и компьютерах по специальным программам. Наиболее просты для рассмотрения линейные системы. Линейными называются системы, для которых имеет место суперпозиция (отклик на сумму двух входных сигналов равен сумме откликов на эти сигналы по отдельности) и однородность, или гомогенность (отклик на входной сигнал, усиленный в определенное число раз, будет усилен в то же число раз). Линейность позволяет рассматривать объекты исследования по частям, а однородность - в удобном масштабе. Для реальных объектов свойства линейности могут выполняться приближенно и в определенном интервале входных сигналов.

Если входной сигнал x(t-t₀) порождает одинаковый выходной сигнал y(t-t₀) при любом сдвиге t₀, то систему называют инвариантной во времени. Ее свойства можно исследовать в любые произвольные моменты времени. Для описания линейной системы вводится специальный входной сигнал - единичный импульс (импульсная функция). В силу свойства суперпозиции и однородности любой входной сигнал можно представить в виде суммы таких импульсов, подаваемых в разные моменты времени и умноженных на соответствующие коэффициенты. Выходной сигнал системы в этом случае представляет собой сумму откликов на эти импульсы, умноженных на указанные коэффициенты. Отклик на единичный импульс называют импульсной характеристикой системы h(n), а отклик на произвольный входной сигнал s(k) можно выразить сверткой g(k) = h(n)_*s(k-n).

Если h(n)=0 при n<0, то систему называют каузальной (причинной). В такой системе реакция на входной сигнал появляется только после поступления сигнала на ее вход. Некаузальные системы реализовать физически невозможно. Если требуются физически реализовать свертку сигналов с двусторонними операторами (при дифференцировании, преобразовании Гильберта, и т.п.), то это выполняется с задержкой (сдвигом) входного сигнала минимум на длину левосторонней части оператора свертки.

Z-преобразование. Для анализа дискретных сигналов и систем широко используется z-преобразование, которое является обобщением дискретного преобразования Фурье. Этим преобразованием произвольной непрерывной функции s(t), равномерно дискретизированной и отображенной отсчетами s_k = s(kDt), ставится в соответствие степенной полином по z (или степенной полином по z^-1 = 1/z), последовательными коэффициентами которого являются отсчеты функции: s_k = s(kDt) «TZ[s(kDt)] =s_k z^k = S(z), где z = s+jv = r×exp(-jj) - произвольная комплексная переменная. Это преобразование позволяет использовать всю мощь дифференциального и интегрального исчисления, алгебры и прочих глубоко развитых разделов аналитической математики.

Системы обычно описывается линейными разностными уравнениями с постоянными коэффициентами: y(k) = ∑ b(n) x(k-n) - ∑ a(m) y(k-m), n=0, 1, …, N, m=1, 2, …, M. Этим уравнением устанавливается, что выходной сигнал y (k) системы в определенный момент k_i (например, в момент времени k_iDt) зависит от значений входного сигнала x(k) в данный (k_i) и предыдущие моменты (k_i-n) и значений сигнала y(k) в предыдущие моменты (k_i-m).

Z-преобразование этого уравнения, выраженное относительно передаточной функции системы H(z) = Y(z)/X(z), представляет собой рациональную функцию от z в виде отношения двух полиномов от z. Корни полинома в числителе называются нулями, а в знаменателе - полюсами функции H(z). Значения нулей и полюсов позволяют определить некоторые свойства линейной системы. Так, если все полюсы лежат вне единичной окружности |z|=1 на комплексной z-плоскости (по модулю больше единицы), то система является устойчивой (не пойдет “вразнос” ни при каких входных воздействиях). Нули функции Y(z) обращают в ноль H(z) и показывают, какие колебания вовсе не будут восприниматься системой (“антирезонанс”). Полюса функции X(z) обращают H(z) в бесконечность, такой сигнал на входе системы вызывает резонанс и неограниченное возрастание сигнала на выходе. Систему называют минимально-фазовой, если все полюсы и нули передаточной функции лежат вне единичной окружности. Попутно заметим, что применение z-преобразования с отрицательными степенями z^-1 меняет положение полюсов и нулей относительно единичной окружности |z|=1 (область вне окружности перемещается внутрь окружности, и наоборот).

Природа сигналов. По своей природе сигналы могут быть случайные или детерминированные. К детерминированным относят сигналы, значения которых в любой момент времени или в произвольной точке пространства (а равно и в зависимости от любых других аргументов) являются априорно известными или могут быть достаточно точно определены (вычислены) по известной или предполагаемой функции, даже если мы не знаем ее явного вида. Случайные сигналы в принципе не имеют определенного закона изменения своих значений во времени или в пространстве. Для каждого конкретного момента (отсчета) случайного сигнала можно знать только вероятность того, что он примет какое-либо значение в какой-либо определенной области возможных значений. Закон распределения (функция распределения – вероятность того, что случайная величина примет значение меньшее аргумента функции, или плотность распределения – производная функции распределения) далеко не всегда известен.

Одним из самых распространенных является нормальный закон (Гаусса), плотность распределения которого имеет вид симметричного колокола. Для его описания достаточно двух первых моментов. Его распространенность обусловлена тем, что сумма случайных величин по мере увеличения их количества стремиться к нормальному закону. Определенное распространение имеют и равномерный на заданном отрезке закон, и двойной экспоненциальный, похожий по форме на нормальный, но с более длинными “хвостами” (вероятность больших отклонений больше, чем для нормального), и другие, в том числе несимметричные законы.

Наиболее простые характеристики законов распределения – среднее значение случайных величин (математическое ожидание) и дисперсия (математическое ожидание квадрата отклонения от среднего), характеризующая разброс значений случайных величин относительно среднего значения. Параметры динамики случайных сигналов (процессов) во времени характеризуются функциями автокорреляции (количественная оценка взаимосвязи значений случайного сигнала на различных интервалах) или автоковариации (то же, при центрировании случайных сигналов). Аналогичной мерой взаимосвязи двух случайных процессов и степени их сходства по динамике развития является кросскорреляция или кроссковариация (взаимная корреляция или ковариация). Максимальное значение взаимной корреляции достигается при совпадении двух сигналов. При задержке одного из сигналов по отношению к другому положение максимума корреляционной функции дает возможность оценить величину этой задержки.

Функциональные преобразования сигналов. Одним из основных методов частотного анализа и обработки сигналов является преобразование Фурье. Различают понятия “преобразование Фурье” и “ряд Фурье”. Преобразование Фурье предполагает непрерывное распределение частот, ряд Фурье задается на дискретном наборе частот. Сигналы также могут быть заданы в наборе временных отсчетов или как непрерывная функция времени. Это дает четыре варианта преобразований – преобразование Фурье с непрерывным или с дискретным временем, и ряд Фурье с непрерывным временем или с дискретным временем. Наиболее практична с точки зрения цифровой обработки сигналов дискретизация и во временной, и в частотной области, но не следует забывать, что она является аппроксимацией непрерывного преобразования. Непрерывное преобразование Фурье позволяет точно представлять любые явления. Сигнал, представленный рядом Фурье, может быть только периодичен. Сигналы произвольной формы могут быть представлены рядом Фурье только приближенно, т.к. при этом предполагается периодическое повторение рассматриваемого интервала сигнала за пределами его задания. На стыках периодов при этом могут возникать разрывы и изломы сигнала, и возникать ошибки обработки, вызванные явлением Гиббса, для минимизации которых применяют определенные методы (весовые окна, продление интервалов задания сигналов, и т.п.).

При дискретизации и во временной, и в частотной области, вместо “дискретно-временной ряд Фурье” обычно (что не слишком точно) говорят о дискретном преобразовании Фурье (ДПФ): S(n) = s(k) exp(-j 2p kn/N), где N- количество отсчетов сигнала. Применяется оно для вычисления спектров мощности, оценивания передаточных функций и импульсных откликов, быстрого вычисления сверток при фильтрации, расчете корреляции, расчете преобразований Гильберта, и т.п. Расчет ДПФ по приведенной формуле требует вычисления n коэффициентов, каждый из которых зависит от k элементов исходного отрезка, так что число операций не может быть меньше nk. Существует целое семейство алгоритмов, известное, как “Быстрое Преобразование Фурье” - БПФ, сокращающее время работы до n log(k) операций. “Быстрое” не следует трактовать, как “упрощенное” и “неточное”. При точной арифметике результаты расчетов ДПФ и по алгоритмам БПФ совпадают.

Известное применение находят и варианты преобразования Фурье: косинусное для четных и синусное для нечетных сигналов, а также преобразование Хартли, где базисными функциями являются суммы синусов и косинусов, что позволяет повысить производительность вычислений и избавиться от комплексной арифметики. Вместо косинусных и синусных функций используются также меандровые функции Уолша, принимающие значения только +1 и -1. И, наконец, в последнее время в задачах спектрально-временнного анализа нестационарных сигналов, изучения нестационарностей и локальных особенностей сигналов "под микроскопом", очистки от шумов и сжатия сигналов начинают получать в качестве базисов разложения вейвлеты ("короткие волны"), локализованные как во временной, так и в частотной области.

Дата добавления: 2014-01-03